204 Gleichungen. § 2. Allgemeine Sätze über höh. algebraische Gleichungen. 
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aus der letzteren erkennt man, daß die Wurzeln der neuen Gleichung: 
x 
n 
k 
z 
k ’ 
z = 
durch Division der Wurzeln der ursprünglichen Gleichung mit Je entstehen. 
Man macht von dieser Transformation Gebrauch, um die Koeffi 
zienten der Gleichung auf größere oder kleinere Zahlen zurückzuführen. 
Yon der speziellen Transformation, die sich für li — — 1 ergibt, 
wird häufig Gebrauch gemacht; man kann sie kurz als Zeichen 
änderung der Unbekannten oder als den Übergang von /{/) = 0 zu 
+ y(— x) = 0 bezeichnen, wobei das Vorzeichen links so gewählt wird, 
daß das erste Glied positiv ausfällt. 
II. Die Substitution x = z + h verwandelt die Gleichung f{x) = 0 in 
/o+=/Qi)t+■Vf **+■■■ + 
/"¥) 
1 • 2 
^ = o, (13) 
eine Gleichung, die bereits geordnet ist nach den Potenzen der neuen 
Unbekannten. 
Die Berechnung der Koeffizienten kann in folgender Weise ge 
schehen: 
/Qi) ist der Rest, der hei der Division von /(x) durch x — h 
verbleibt (125); der Quotient dieser Division ist 
, /•*(*) 
+ 1 -2 ...n X 
/(*) : 
ist der Rest, der bei der neuerlichen Division dieses Quo 
tienten durch x — h verbleibt; der Quotient dieser Division ist 
1 • 2 
+ 
1-2-3 
X-i h 
/ 
(n) 
in — 2. 
1 • 2 
ist der Rest, der bei der Division dieses Quotienten durch 
x — U verbleibt usw. 
Man erhält also die Koeffizienten von (13) als Reste bei der 
wiederholten Division durch x — h, und zwar in der Reihenfolge von 
der niedrigsten Potenz zur höchsten; die Divisionen werden am be 
quemsten nach dem Hornerschen Schema ausgeführt. 
Um z. B. die Gleichung x* — 2x 3 — 3x 2 -f 1=0 durch die Sub 
stitution x = z -f- 3 zu transformieren, hat man folgende Rechnung: 
1 -2-3 0 _1 
1 1 0 0 (1) 7 
1 4 12 (36) 
1 7 (33) 
1 (10) 
3