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Gleichungen. § B. Resultante und Diskriminante. 
132. Der Satz von Bezout. Wir kehren zu den Gleichungen (1), 
(2) zurück, als deren Resultante das in (3) ungeschriebene B erkannt 
worden ist, und nehmen an, jedes a i und h i sei eine ganze Funktion 
von x vom Grade i: dann sind f und y ganze Funktionen von x, y 
vom Grade m, bzw. n, geordnet nach Potenzen von y; B aber ist 
jetzt eine ganze Funktion von x, deren Grad nun bestimmt werden 
soll. Bezeichnet man das Elementen System von B symbolisch durch 
C 11 
G.2 
C 21 
^22 
C 2,m + n 
C nl 
C n2 
n, m + n 
C 7l + 1,1 
C n +1,2 • • 
n 
* • w + 
^m + n, 1 
+ n, 2 
. . n 
m -p 7?, m + n 
und vergleicht dies mit dem faktischen Elementensystein, so bemerkt 
man, daß in der ersten Zeilenserie 
c ik = 0, wenn 1c — i <. 0 und 1c — « > m, sonst aber c ik = a k _ if 
in der zweiten Zeilenserie 
■c n + i * — 0, wenn h — i <C 0 und 1c — i > n, sonst aber c n + ik = b k _ i . 
Nun lautet das allgemeine Glied von B in der Schreibung (4), 
vom Vorzeichen abgesehen, 
G «i ^2 Cncc n ' ^n + 2,^ 2 ' ‘ ’ + 
und enthält es keines der Elemente von den leeren Plätzen, in welchem 
Falle es ja Null ist, so ist sein Grad 
cc t — 1 + ^2 — 2 -f ••• + <*„ — n + ßi — 1 + ßz — % + • • • -p ß m — 
— «i + «2 + • * • + a n + ßl + ß-2 + • • • + ßm 
m(jn —p 1) -f- n(n -(- 1) 
2 
also, da die Summe der a und ß gleichbedeutend ist mit der Summe 
der Kolonnenzeiger 1, 2, • • • m + n in irgend einer Anordnung, 
(w -f- n) (m 4- w + 1) — m(m -f-1) — n{n 4- 1) ^ m 
Somit sind alle Glieder von B, daher auch B selbst, ganze Funk 
tionen vom Grade mn und die Gleichung 
B = 0, 
die die Bedingung gemeinsamer Wurzeln y ausdrückt, mn-ten Grades; 
es gibt also mn Werte von x, für welche die Gleichungen f= 0, 
g = 0 eine gemeinsame Lösung nach y haben. Dies gibt den Satz 
von Bezout: