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Gleichungen. § 43. Resultante und Diskriminante. 
Das allgemeine Verfahren zur Bildung der Resultante zweier 
Gleichungen ist aber bereits in 131, II angegeben worden. 
Auf den Fall der quadratischen Gleichung 
a 0 x 2 ff- 2 a x x ff- a 2 = 0 
angewendet führt dies zu folgender Rechnung: Durch Differentiation 
und nachherige Kürzung mit 2 erhält man 
a 0 x ff- a x = 0; 
die Resultante beider Gleichungen ist 
II = 
a 0 2a x a 2 
a Q a x 0 
0 a 0 a x 
= — a Q {a\ — a 0 a 2 ), 
und daraus ergibt sich, nach Weglassung des Faktors — a 0 , der not 
wendig von Null verschieden ist, die vorhin gefundene Diskriminante 
D = a\ — a 0 a 2 ' tatsächlich ist aber mit B = 0 auch D = 0. 
Für die Gleichung dritten Grades 
x z ff- px + 3 = 0, 
deren Ableitung lautet: 
3x 2 -\- p = 0, 
läßt sich die Aufsuchung der Bedingung für gleiche Wurzeln dadurch 
vereinfachen, daß man erst aus der ersten Gleichung x z mit Hilfe 
der zweiten eliminiert; 
3ic 3 -f 3px ff- 3g = 0 
3# 3 -)- px — 0 
geben nämlich durch Subtraktion 
2px ff- 3q = 0; 
der hieraus für x gezogene Ausdruck in die quadratische Gleichung 
eingesetzt führt zu 
27q* . A 
oder zu 
27<f ff- 4p 3 = 0; 
das Vorhandensein gleicher Wurzeln ist also durch das Verschwinden 
des Ausdrucks 27 g 2 ff- 4g» 3 bedingt, der hiernach in der Diskriminante 
als Faktor enthalten sein muß. 
Man kann der Diskriminantenbilduug auch den folgenden Ge 
danken zugrunde legen. Das Quadrat des Produkts aus allen Wurzel 
differenzen einer Gleichung ist eine symmetrische Funktion der Wurzeln, 
weil es bei irgendwelcher gegenseitiger Vertauschung derselben un 
verändert bleibt — vom Produkt selbst würde dies nicht gelten. Nach