Diskriminante. — Wurzelgrenzen. 
211 
14 
einer am Schlüsse von 129 gemachten Bemerkung ist aber jede sym 
metrische Funktion der Wurzeln durch die Gleichungskoeffizienten 
rational darstellbar; die so erhaltene Funktion der Koeffizienten hat 
aber vermöge ihres Ursprungs die Eigenschaft, dann, aber auch nur 
dann Null zu sein, wenn sich unter den Wurzeln gleiche befinden; 
sie kann sich somit von der Diskriminante nur durch einen konstanten 
Faktor unterscheiden*). 
Bei der quadratischen Gleichung ist beispielsweise die einzige 
2"|/ö^ a ct • • • 
Wurzeldifferenz + je nachdem man die eine oder die 
a 0 
• • • 4: (d ^ 
andere Wurzel als die erste annimmt; ihr Quadrat 
«0 «*) 
enthält 
tatsächlich D = a\ — a 0 a 2 als Faktor. 
§ 4. Numerische Gleichungen. 
134. Allgemeine Grenzen der Wurzeln. I. Unter einer 
numerischen Gleichung versteht man eine Gleichung, deren Koeffizienten 
besondere Zahlen sind. Die Wurzeln einer solchen sind somit be 
stimmt. Zu ihrer Auffindung sind Methoden ausgebildet worden, die 
unabhängig von dem Grade der Gleichung Geltung haben. In der 
Regel haben nur die reellen Wurzeln ein Interesse; wir beschränken 
uns daher auf die Aufsuchung dieser. 
Als ein wichtiger Umstand erweist sich die Stetigkeit der ganzen 
Funktion, die wieder eine Folge ihrer Endlichkeit ist. Eine ganze 
Funktion 
f{x) = a Q x n + a 1 x n ~ 1 + • • • + a n 
ist für jeden endlichen Wert von x endlich, weil sie das Ergebnis 
einer endlichen Anzahl von Multiplikationen und Additionen bildet. 
Das gleiche gilt von ihrer Ableitung 
/\x) = na^x n ~ y -f in — l)a 1 ic w-2 + • • • + a „-i, 
die ja wieder, eine ganze Funktion ist. Die Endlichkeit der Ableitung 
hat aber die Stetigkeit der ursprünglichen Funktion zur Folge (57). 
Von den Eigenschaften einer stetigen Funktion kommt hier ins 
besondere die in Betracht, daß sie jeden zwischen zweien ihrer Werte 
liegenden Wert annimmt (51, B.). Hat also fix) für a und b ent 
gegengesetzte Werte, so muß es zwischen a und b mindestens eine 
Stelle geben, an der f{x) Null wird. Dies führt zu dem für die vor 
liegende Aufgabe wichtigen Satze: 
— n(n — 1) 
1) Man definiert die Diskriminante als das mit (—1) 2 «2 2 multipli 
zierte Quadrat des Wurzeldifferenzenprodukts, wobei n den Grad der Gleichung 
bedeutet.