Warzelgrenzen. — Satz von Descartes. 
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Bei der Ausführung gellt man von Ü (#) aus, wählt # (ganz 
zahlig) so, daß gerade noch 0 wird, schreitet dann zu den 
niederen Ableitungen vor und erhöht dahei x nach Bedarf, um das 
positive Zeichen zu erhalten. Das folgende Beispiel die Gleichung 
2# 3 — hx 1 — 8« + 3 = 0 betreffend,, wird dies erklären: 
fix) 
2# 3 — 5# 2 — Sx + 3 4 
6# 2 — 10# — 8 3 
12# - 10 1 
-/(-*) 
2# 3 + 5# 2 —8# —3 2 
6# 2 + 10# — 8 1 
12# +10 ¡0 
f"(x) ist positiv von #=1 aufwärts; _/'(!) ist aber negativ, auch 
f'(2) und erst f'(3) ist positiv; /(3) fällt negativ aus, aber schon 
f(4) ist positiv; also ist 1 = 4. Ähnlich schließt man im andern 
Schema und kommt so zu V = — 2. 
135. Der Satz von Descartes. Man spricht in einer nach 
den Potenzen von # geordneten Gleichung von einem Zeichenwechsel, 
wenn zwei aufeinander folgende Glieder ungleich bezeichnet sind; im 
andern Falle von einer Zeichenfolge. Zwischen der Anzahl der Zeichen 
wechsel und der Anzahl der positiven Wurzeln besteht ein gewisser 
Zusammenhang, der sich auf die folgende Tatsache stützt: Wenn man 
ein geordnetes Polynom mit x — p multipliziert, worin p eine positive 
Zahl bedeutet, so wächst mindestens ein Zeichenwechsel zu oder deren 
eine ungerade Zahl. 
Faßt man nämlich die gleichbezeichneten Glieder, wie sie auf 
einander folgen, gruppenweise zusammen, so hat das Polynom 
(ia ü x n -\-a x x n ~ l -\ ) — (tfó# n '+«í#”' -1 -l ) + (a'o #”"+ a[x n "~ M ) 
+ (— l) v («0) #" (r) -t a ( f>) 
v Zeichenwechsel; bei der Multiplikation mit # ändert sich an dieser 
Sachlage nichts; bei der Bildung des zweiten Teilprodukts mit — p 
schieben sich die Glieder um eine Stelle nach rechts vor, das Endglied einer 
Gruppe kommt unter das Anfangsglied der nächsten mit dem Vor 
zeichen, das dieses letztere schon hat, so daß vom Anfangsgiied der ersten 
Gruppe zum Anfangsglied der zweiten, von da zum Anfangsglied der 
dritten Gruppe usw. immer wieder ein Zeichenwechsel stattfinden muß-, 
die im Innern der Gruppen etwa zuwachsenden Zeichenwechsel sind 
notwendig von gerader Anzahl; denn der Übergang von + zu — oder 
von — zu +, wenn er nicht durch einen Zeichenwechsel erfolgt, kann 
nur durch eine ungerade Zahl von Zeichenwechseln geschehen; mithin 
wächst bis zum letzten Glied der letzten Gruppe entweder kein Zeichen 
wechsel zu oder deren eine gerade Zahl. Nun aber rückt das Glied 
— (— 1 ) v (ffp über die letzte Gruppe hinaus und bewirkt immer einen