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Gleichungen. § 4. Numerische Gleichungen. 
neuen ZeichenwechseL Demnach ist die Gesamtzahl der zugewachseneu 
Zeicheuwechsel entweder 1 oder eine ungerade Zahl. 
Es seien nun p lf p. 2 , • • ■ p n die sämtlichen positiven Wurzeln der 
Gleichung fix) = 0 und 
f{x) = {x- p,)(x - p 2 ) •••(«- p„)tp(x), 
so daß die Gleichung cp(x) — 0 vom Grade n — n nurmehr negative 
und komplexe Wurzeln besitzt; dann sind in <p(x) erstes und letztes 
Glied gleich bezeichnet, weil sonst noch eine positive Wurzel darin 
enthalten sein müßte (134. I), cp{x) kann also nur eine gerade An 
zahl von Zeichenwechseln enthalten. Da nun mit jedem Faktor x — p t 
mindestens ein Zeichenwechsel zuwächst, und, was etwa darüber hinaus 
geht, eine gerade Zahl ist, so enthält f[x) mindestens % Zeichenwechsel, 
und was etwa darüber hinausgeht, ist gerad. 
Aus diesen Erwägungen geht der erste Teil der Descartesscheu 
Zeichenregel hervor: Die Zahl der Zeichenwechsel in f(f) = 0 ist gleich 
der Anzahl der positiven Wurzeln oder ubertrifft sie um eine gerade 
Zahl, ln Zeichen: 
(1) 
wo w die Anzahl der Zeichenwechsel ist und h eine der Zahlen 
f Yh 7t 
0, 1, • • • —- bedeuten kann. 
Geht man von der Gleichung fix) = 0 zu fi— x) = 0 über, so 
gehen die positiven Wurzeln der letzteren aus den negativen Wurzeln 
der ersteren hervor; demnach steht die Anzahl v der negativen Wurzeln 
von fix) = 0 mit der Anzahl w der Zeichenwechsel von fi— x) = 0 
in einem Zusammenhänge, der sich in dem zweiten Teil der Des- 
cartesschen Zeichenregel ausspricht: Die Zahl der Zeichemvechsel der 
transformierten Gleichung f{— x) = 0 ist gleich der Zahl der negativen 
Wurzeln von ff) = 0 oder übertrifft sie um eine gerade Zahl. In 
Zeichen: 
w' = v + 2/i, 
n — V 
wo jetzt Je sein kann 0, 1, •••—-- 
Ist fix) = 0 eine vollständige Gleichung, d. h. eine solche, in der 
alle Potenzen von x von x 11 abwärts verkommen, so gehen bei dem 
Übergang von fix) = 0 zu fi— x) = 0 die Zeichenfolgen in Zeichen 
wechsel und umgekehrt über. Daraus ergibt sich die weitere Regel: 
In einer vollständigen Gleichung Teommt die Zahl der Zeichemvechsel 
und die Zahl der Zeichenfolgen beziehungsweise der Anzahl der positiven 
und negativen Wurzeln gleich oder übertrifft sie um eine gerade Zahl. 
Diese Regeln gestatten in manchen Fällen die strikte Bestimmung 
der Anzahl der positiven und negativen Wurzeln; in andern Fällen