Satz von Descartes. — Ganzzahlige Wurzeln. 
215 
führen sie nur zu einer oberen Grenze derselben. Einige Beispiele 
werden dies zeigen; die Aufschreibungen bedürfen keiner weiteren 
Erklärung. 
(w = 1, 7C = 1; w = 3, v = 1 oder 3). 
(tv = 1, 7t = 1) 
(w = 2, v = 0 oder 2). 
(w — 3, ?r = 1 oder 3) 
(w =1, v = 1). 
(w= 1, 7t = 1; w/ = 1, v = 1). 
(w = 0, 7t == 0; w' = 0, v = 0). 
a) rr 4 + 3# 3 -(- 2x 2 -\-bx— 6 = 0 
b) x b + "6x 2 — 1=0 
— x° + 3¿r 2 — 1 = 0 
c) x A — 4x 2 A 3# — 8 = 0 
ir 4 — 4íc 2 — 3íc — 8 = 0 
d) x 2n ■— 1=0 
e) x 2n + l = 0 
136. Aufsuchung rationaler Wurzeln. I. Einer Gleichung 
mit ganzzahligen Koeffizienten gegenüber wird man zuerst die Frage 
stellen, ob sie ganzzahlige Wurzeln besitze, also im Gebiete der ganzen 
Zahlen in Faktoren zerlegbar sei. 
Soll die Gleichung 
fix) = a Q x n -f a x x n ~ 1 H b a n = 0, 
in der die Koeffizienten ganze Zahlen sind, durch die ganze Zahl p 
befriedigt werden, so muß diese ein Faktor von a n sein, weil nach 
der Substitution x = p alle vorangehenden Glieder durch p teilbar sind. 
Die ganzzahligen Wurzeln von f ix) = 0 sind also unter den Faktoren 
des absoluten Gliedes zu suchen. 
Die Anzahl der zu prüfenden Faktoren vermindert sich einmal 
dadurch, daß nur die innerhalb der Wurzelschranken gelegenen in 
Betracht kommen können, kann aber oft noch weiter reduziert werden 
auf Grund folgender Bemerkung. Ist 
f{x) = ix-p)(p{x), 
so hat rp{x) notwendig auch ganzzahlige Koeffizienten, und darum ist 
sowohl 
wie auch 
/(- 1) 
P+ 1 
- <PÍ- 1) 
eine ganze Zahl. Man berechne also mittels des Hornerschen Schemas 
f(— 1) und f{l), wodurch zugleich — 1,1 eventuell als Wurzeln er 
kannt und ausgeschieden werden; ein Faktor p von a n kann nur dann 
Wurzel sein, wenn p -j- 1 in f f- 1) und p — 1 in f( 1) ohne Rest 
enthalten ist. 
Sind auf diese Weise die zu prüfenden Faktoren auf ihre kleinste 
Anzahl reduziert, so erfolgt ihre endgiltige Prüfung und eventuelle