Ganzzahlige Wurzeln. — Gebrochene Wurzeln. 
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Soll die Gleichung 
fix) = a 0 x n + a v x n ~ x -\ h a w _j x + ci n = 0 
mit ganzen Koeffizienten durch den Bruch x = ~ befriedigt sein, so muß 
+ a 1 z n ~ i + a 2 ps w ~ 2 + h a n _ 1 p n ~ 2 z + aj) n 
sein; da nun, vom zweiten angefangen, alle Glieder ganze Zahlen sind, 
so erfordert der Bestand dieser Gleichung, daß auch das erste Glied 
eine ganze Zahl sei, was nur in der Weise möglich ist, daß p ein 
Teiler von a 0 , weil s und p als teilerfremd vorausgesetzt werden 
können. Die Nenner der gebrochenen Wurzeln sind also unter den 
Faktoren des Koeffizienten der höchsten Potenz zu suchen; die Zähler 
ergeben sich als die ganzzahligen Wurzeln der Gleichung 
a Q z n + a x pz n ~ x + a 2 p 2 z n ~ 2 -j- • • • + a n p n = 0. 
Hieraus geht unmittelbar hervor, daß eine Gleichung mit ganzen 
Koeffizienten, deren erster 1 ist, gebrochene Wurzeln nicht haben kann. 
Bei Ausführung des eben erörterten Verfahrens wählt man p ent 
weder = a 0 selbst oder einem passenden Faktor davon, befreit die 
Gleichung von den Nennern und geht dann wie in I. vor. 
Beispiel. Die Gleichung 
24a; 4 — 50a; 3 -f 35a; 2 — 10a; +1=0 
kann an ganzzahligen Wurzeln nur + 1 haben. Da sie vollständig 
ist und keine Zeichenfolge aufweist, so hat sie keine negative Wurzel, 
wodurch schon 0 als untere Schranke erkannt ist. Bei der Bestim 
mung der oberen Schranke: 
/0*0 
24a: 4 — 50a; 3 + 35 a; 2 —10a: + 1 
96a: 3 - 150a: 2 + 70a: - 10 
288 a: 2 — 300a: +70 
576a; — 300 
1 
1 
1 
1 
zeigt sich, daß 1 obere Schranke und zugleich Wurzel ist. Nach ihrer 
Ausscheidung, die durch das Hornersche Schema bewerkstelligt wird, 
verbleibt die kubische Gleichung 
24a; 3 — 26a; 2 + 9a; — 1 = 0, 
die sich durch die Substitution x = - ^ verwandelt in 
s 3 - 13s 2 + 54s- 72 = 0; 
ihre obere Wurzelgrenze bestimmt sich aus dem Schema