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Gleichungen. § 4. Numerische Gleichungen. 
1 3 , 2 3 , 3 3 , • • • somit eine arithmetische Reihe 3. Ordnung; ferner 
z/w 4 = (w+ l) 4 — w 4 = 4 w 3 -f- 6w 2 -f- 4w -j- 1 
z/ 4 m 4 = 4zJ a n 3 -f- 6z/ 3 « 2 + 4z/ 3 w-f z/ 3 l = 1 • 2 • 3 • 4, 
1 4 , 2 4 , 3 4 , • • • daher eine arithmetische Reihe 4. Ordnung usf.; all 
gemein gilt also 
zTaw r = aA r n r = 1 • 2 • • • ra. 
(12) 
138. Anwendung auf ganze Funktionen. Die zur Zahlen 
folge 1 ) 2,—1,0, 1, 2, • • • gehörigen Werte einer ganzen Funk 
tion n-ten Grades 'bilden eine arithmetische Eeihe n-ter Ordnung. 
Ist f{x) = a Q x n -f a 1 x n ~ i + • • • -f- a n , so ist nach dem Yoraus- 
geschickten 
A n f{x) = a Q zJ n x n + a 1 J n x n ~ 1 H + zJ n a n = 1 • 2 • • • na 0 . (13) 
Die Berechnung der Werte • • • /(— 2), _/(— l) ; _/(0),_/(l),/'(2), • • • 
gestaltet sich auf dieser Grundlage sehr leicht, wenn man die Struktur 
des Tableaus einer Reihe mit ihren Differenzenreihen: 
u Q zlu 0 z/ 2 m 0 z/ 3 « 0 z/% 0 
u x ziu x z/ 2 гí 1 z/ 3 m x • 
u 2 zhk 2 z/ 2 W 2 ; 
u 3 z/ u 3 | 
näher betrachtet; es ist beispielsweise 
= z/m 2 — z/«j 
(«) 
W 
zJti x = z/m 2 — z/ 2 m x , 
und analoge Beziehungen bestehen zwischen jeden drei derart situierten 
Zahlen der Tabelle. In Worten: («) Eine Zahl ist gleich der über 
ihr stehenden plus der rechts neben der letzteren befindlichen, und: 
(/3) Eine Zahl ist gleich der unter ihr stehenden minus der rechts neben 
ihr befindlichen. Mittels der Regel (a) kann die Tabelle mechanisch 
nach abwärts, mittels der Regel (/3) nach aufwärts fortgesetzt werden. 
Als Grundlage sind n sukzessive Werte von f{x) notwendig, die man 
am besten mittels des Horner sehen Schemas berechnen wird; denn 
dann können Differenzen bis zur n— 1-ten Ordnung gebildet werden, 
und die konstante n- te Differenz ist laut (13) von vornherein bekannt. 
1) Statt dieser Folge kann auch eine Folge von Brüchen mit diesen Zählern 
und irgend welchen Nenners genommen werden.