'Wurzelapproximation. 
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bricht man, um zu einer ersten Näherung zu kommen, hei den Gliedern 
mit der ersten Potenz von h, Je ab, so ergibt sich 
- 
/(«) 
/'(«) 
fc = 
/(&)' 
(3) 
(4) 
Mit Rücksicht auf die geometrische Bedeutung von _/'(a) stellt 
/<, den Abschnitt aH+. den die Tangente in A, Fig. 43, auf dem Inter 
vall (a, b) bildet, und ebenso Je den Abschnitt Kb, den die Tangente 
in B bestimmt. Wenn f"(x) im ganzen Intervall (a, b) dasselbe 
Zeichen beibehält, fällt einer der Schnittpunkte H, K sicher in das 
Intervall; ist z. B. f"(x) beständig positiv, der Neigungswinkel der 
Tangente gegen die Abszissenachse beim Durchlaufen des Bogens AB 
also wachsend, wie in (a), so schneidet die Tangente in B innerhalb 
(a, h) ein, während die Tangente in A ganz wohl an (a, h) Vorbei 
gehen kann; und ist /"(x) beständig negativ, der Neigungswinkel 
also abnehmend, wie in (ß), so führt die Tangente in A sicher zu 
einem Inneupunkt, während die in B auch außerhalb (a, h) einschneiden 
kann. Durch Vergleichung dieser Fälle kommt man zu der Regel, 
daß von den beiden Formeln (3) und (4) diejenige zu einer Annäherung an 
die Wurzel führt, in welcher der ZäJder dasselbe Vorzeichen besitzt wie 
f"{x) im ganzen Intervall. Die zweite Näherung ergibt sich jedesmal, 
wenn man von dem erlangten Näherungswert, b — Je im ersten, a + Ji 
im zweiten Falle, ausgeht, wodurch man zu K', beziehungsweise H' 
kommt usw. 
141. Beispiele. 1. Am Schlüsse von 139 ist für die Gleichung 
x 3 + 3x^ — 17ic -f 5 = 0 
die Trennung der Wurzeln vollzogen worden; es sollen nun die in 
den Intervallen (—6, —5), (0, 1), (2, 3) liegenden Wurzeln x 1} x 2 , x s 
approximiert werden. 
Wurzel x t .