Subtraktion. Null und negative Zahlen. 
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Die aus dieser Begriffserweiterung hervorgehenden Zahlen bilden 
das System der relativen (qualifizierten, nach einer älteren Nomen 
klatur, der aber heute eine ganz andere Bedeutung unterlegt wird, 
algebraische) Zahlen. In seinem Bereiche ist jede Subtraktion aus 
führbar. 
Die bloße Quantität einer relativen Zahl nennt man ihren ab 
soluten Wert. Bezeichnet a eine relative Zahl, so wird ihr absoluter 
Wert symbolisch durch |«| ausgedrückt. ([ + 3 | = 3, — 8 =3). 
Wendet man die unter (2) angeführte wesentliche Eigenschaft 
der Subtraktion auf den letzten der eben unterschiedenen Fälle an, so 
folgt, daß 
a + 0 =' 0 + a = ft; (4) 
wegen dieses Verhaltens wird 0 der Modul der Addition genannt. 
Trifft man in dem erweiterten Zahlensystem die Festsetzung, daß 
a — b^ a\— b' 
sein soll, je nachdem 
a -f b' ^ a -f b, 
so ist: 1. eine positive Zahl um so größer, je größer ihr absoluter 
Wert; 2, eine negative Zahl um so kleiner, je größer ihr absoluter 
Wert; 3. die Null kleiner als jede positive, größer als jede negative 
Zahl; 4. jede negative Zahl kleiner als jede positive Zahl. 
Die positiven Zahlen zeigen hier dasselbe Verhalten wie die natür 
lichen, die negativen das entgegengesetzte. Vermöge dieses Gegen 
satzes passen sich'die relativen Zahlen vielen konkreten Sachverhalten 
naturgemäß an. 
Definiert man die Addition relativer Zahlen durch den Ansatz 
(ft — b) + (a — b') — (ft -f ft') — (b + &'), 
so ist: 1. die Summe zweier positiven Zahlen die positive Summe 
ihrer absoluten Werte; 2. die Summe zweier negativen Zahlen die 
negative Summe ihrer absoluten Werte; 3. die Summe einer positiven 
und einer negativen Zahl der Überschuß des größeren absoluten Wertes 
über den kleineren, versehen mit dem Vorzeichen des größeren. 
Dieser Sachverhalt gestattet die Auffassung von a — b als Summe 
der relativen Zahlen -f- a und — b, so daß nach Einführung der rela 
tiven Zahlen eine Unterscheidung zwischen Addition und Subtraktion 
überflüssig wird. 
Definiert man die Multiplikation relativer Zahlen durch den Ansatz 
(ft — b) (a — b') = (ft ft' -f bb') — {ab' -j- ab), 
so ergibt sich, indem man der Reihe nach