226 Gleichungen. § 5. Algebraische Auflösung d. Gleichungen 3. u. 4. Grades. 
§ 5. Algebraische Auflösung der Gleichungen dritten 
und vierten Grades. 
142. Die kubische Gleichung. Man kann die allgemeine 
kubische Gleichung 
(i) 
a v x 3 -f + ci 2 x + a s = 0 
zunächst durch Division mit a 0 vereinfachen; bezeichnet man die 
Quotienten —, , ° 3 mit a, h, c, so lautet sie dann 
a 0 a 0 a 0 
/(x) — x 3 + ax 2 + hx -f c = 0. 
(2) 
Für die weitere Behandlung ist es von Vorteil, sie derart zu 
transformieren, daß die zweite Potenz der Unbekannten ausfällt; setzt 
man zu diesem Zwecke 
das Ziel ist erreicht, wenn man h so bestimmt, daß 
/"Qi) = 6h + 2a = 0 
wird; dies führt zu h = — ” , also zu der Transformation 
a 
x - * - 3 * 
Die Koeffizienten der transformierten Gleichung ergeben sich aus 
dem folgenden Schema (130, 2.): 
h 
1 a 
c 
I (0) 
(i) 
die Gleichung selbst lautet also: 
(4) 
z 3 + pz + q = 0 
und heißt die reduzierte kubische Gleichung. 
143. Lösung der reduzierten kubischen Gleichung. 1 ). Zum 
Zwecke der Lösung von (4) werde 
1) Der erste, der die Auflösung der (reduzierten) kubischen Gleichung fand, 
war Scipione del Ferro (zu Beginn des 16. Jhrh.); nach ihm, vielleicht nicht 
selbständig, gelangte dazu Nicolo Tartaglia, der sie Hieronimo Cardano 
mitteilte, durch den die erste Veröffentlichung (1545) erfolgte.