Die kubische Gleichung. 
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Z = U + V 
(5) 
gesetzt 1 ); eine solche Substitution bietet den Vorteil, daß man den 
neuen Unbekannten u, v eine Bedingung auferlegen und diesen Um 
stand zur Vereinfachung der Gleichung benutzen kann. 
Die Substitution (5) führt zunächst auf 
u 3 + 3 u 2 v + 3 uv 2 + v 3 -f- p(u + v) + q = 0 
und wegen 3 u 2 v -f 3uv 2 = 3uv(u -)- v) weiter auf 
u 3 -f- v 3 + (3uv + p) (u -f v) -f q = 0. 
Diese Gleichung erfährt eine erhebliche Vereinfachung, wenn man 
über u, v so verfügt, daß 
3 uv + p = 0 s 
(6) 
a 3 + v 3 + q = 0. 
Bildet man auf Grund von (6) und (7) 
u 3 + v 3 = — q 
(7) 
(8) 
so ist zu beachten, daß die zweite dieser Gleichungen umfassender 
ist als die Gleichung (6), aus der sie hervorgegangen ist; denn sie 
bliebe dieselbe, auch wenn statt p genommen würde piv oder pw 2 , 
wobei w, w 2 die komplexen dritten Wurzeln aus 1 bedeuten (22, 2.); 
es ist ja w 3 = (pu 2 ) 3 = 1. 
Wegen den Eigenschaften (8) sind aber u 3 ,v 3 die Wurzeln der 
quadratischen Gleichung 
(9) 
die man als die quadratischen Resolvente von (4) bezeichnet; man 
kann olc! ^ 
setzen und erhält im Sinne von (5) die Lösung in der Gestalt 
Diese Formel, die Cardanisphe Formel genannt, liefert aber, da 
jede Kubikwurzel drei verschiedene Werte besitzt, neun verschiedene 
1) Dieser \ organg wird mit dem Namen des Amsterdamer Bürgermeisters 
J. Hudde in Verbindung gebracht* der ihn 1657 publizierte; doch hatte Huygens 
schon 1655 die nicht wesentlich verschiedene Substitution z = u — v zu dem 
gleichen Zwecke verwendet.