228 Gleichungen. § 5. Algebraische Auflösung d. Gleichungen 3. u. 4. Grades. 
Lösungen; in der Tat, sie löst nach einer oben gemachten Bemerkung 
nicht allein die Gleichung (4): 
z 3 + pz + q = 0, 
sondern auch die beiden Gleichungen: 
z 3 + pwz + q = 0 
z 3 4- pw 2 z 4- Q. = 0; 
es gilt also, die Wurzeln der ersten aufzusuchen. 
Dabei hat die Beziehung (6), oder 
P 
uv = — 
als Richtschnur zu dienen; hat man Werte A, B der beiden Kubik 
wurzeln in (10) bestimmt, die dieser Gleichung genügen, so daß 
so sind Aw, Aw 2 die übrigen Werte der ersten, Btv, Btv 2 die übrigen 
Werte der zweiten Kubikwurzel, und nur die Paare Aw, Bw 2 und 
Aw 2 , Btv genügen noch, indem 
Aw • Bw 2 = Aw 2 • Btv = ABtv 3 = AB = — ^ 
ist. Folglich hat man in 
z y = A 4B 
£ 2 = Aw 4- Btv 2 
z 3 = Atv 2 -\- Btv 
die Lösung von (4). 1 ) 
Setzt man für w und w 2 die Werte ein, so lauten die Ausdrücke 
für die Wurzeln: 
z x = A 4- B 
(11) 
Schließlich ist mittels der Formel (3) der Übergang zu Xy,x 2 ,x 3 
zu vollziehen. 
144. Diskussion der Cardanischen Formel. Die Natur der 
Wurzeln ist bedingt durch die Größe 
1) Die Gleichung z s -\-pwz + q = 0 hat die Wurzeln Aw B, A Bw, 
Aw 2 4- Bw 2 , die Gleichung z s -)- pw 2 z -(-2 = 0 die Wurzeln Aiv 2 4- B, A -\-Bw-, 
Aw 4- Bw.