Diskussion der Cardanischen Formel. 
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die in der Cardanischen Formel unter der Quadratwurzel steht und 
nach den Ausführungen in 133 von der Diskriminante der Gleichung (4) 
sich nur durch einen konstanten Faktor unterscheidet. Es sind fol 
gende Fälle zu unterscheiden. 
I. Ist iü> 0, so steht unter jeder Kubikwurzel eine reelle Zahl; 
A, I> bedeuten dann die reellen Werte der Kubikwurzeln, und da sie 
voneinander verschieden sind, so ist z y reell und z 2 , z 3 ein Paar kon 
jugiert komplexer Wurzeln; dasselbe gilt von x l7 x 2 , x 3 . 
II. Bei B= 0 ändert sich die Sachlage nur insofern, als nun 
unter beiden Kubikwurzeln dieselbe reelle Zahl, nämlich — ^ steht; 
infolgedessen ist A = B, daher 
= 2 A 
z 2 = z 3 = — Aj 
auch die ursprüngliche Gleichung hat jetzt drei reelle Wurzeln und 
darunter zwei gleiche. 
III. Algebraisch am interessantesten ist der Fall B < 0, der nur 
bei negativem p auftreten kann; er gibt der Cardanischen Formel eine 
komplexe Gestalt und mußte daher vor der Einführung des Rechnens 
mit komplexen Zahlen unüberwindliche Schwierigkeiten bereiten; darum 
auch der Name Casus irreducibilis, unter dem er in der Literatur seit 
jener Zeit erscheint. 
Bringt man den ersten Radikanden in die trigonometrische Form, 
indem man 
— | -f i Y — B — r (cos cp + i sin cp) 
setzt, so folgt daraus: 
0. 
r cos cp = — 2 
r sin cp = Y — B 
2 
2 
(12) 
cos cp = 
Durch die letzte dieser Formeln, in der die Wurzel absolut zu nehmen 
ist, ist ein Winkel aus dem Intervall (o, 7t) bestimmt, dieser soll fortab 
unter cp verstanden werden. Es ist dann (20): 
folglich