Der Zahlbegriff. § 1. Reelle Zahlen. 
a = V -f d' 
hj= a + d, h' = a + d' 
a — b + d,h' = a + d' oder b = a + d, a = b' -f d' 
b = a oder h' = a oder beides zugleich 
setzt und rechts die Regel 7, (5) anwendet: 1. das Produkt zweier 
positiven und zweier negativen Zahlen ist das positive Produkt ihrer 
absoluten Werte; 2. das Produkt einer positiven und einer negativen 
Zahl das negative Produkt ihrer absoluten Werte; 3. das Produkt aus 
0 mit einer relativen Zahl oder mit 0 selbst 0; in anderer Weise 
kommt 0 als Produkt nicht zustande. 
Man erkennt, daß diesen Rechengesetzen gegenüber die positiven 
Zahlen sich so verhalten wie die natürlichen Zahlen. 
10. Division. Die Forderung, eine gegebene Menge A in Mengen 
von der Quantität b aufzulösen und diese Mengen zu zählen, oder A 
in b gleiche Mengen zu teilen und die zu einer solchen Teilmenge 
gehörige Zahl zu bestimmen, führt zu der arithmetischen Aufgabe, 
die (natürliche) Zahl a als Produkt zweier Faktoren darzustellen, 
deren einer b ist; die Operation, die zur Auffindung des zweiten Fak 
tors führt, heißt Division, das Resultat Quotient, a der Dividend, b der 
Divisor; deutet man die Forderung, aber auch ihr eventuelles Resultat, 
durch das Symbol a: b oder 
X (1) 
so drückt sich das Wesen der neuen Rechnungsart durch den 
7 Oj CI 7 
b 7 = , b = a 
h h 
(2) 
aus, der ihren Zusammenhang mit der Multiplikation darstellt. 
Die Ausführbarkeit der Division ist aber an eine Schranke ge 
bunden: nur dann, wenn a ein Vielfaches von b ist, ergibt sich eine 
und dann immer nur eine Lösung. 
Das Prinzip der Permanenz fordert neuerdings eine Begriifs- 
erweiterung, die zu einer ausnahmslosen Durchführbarkeit der Division 
zu verhelfen hat, und dies soll wiederum darin bestehen, daß man das 
Symbol (1) immer, also auch dann als Zahl ansieht, wenn a kein Viel 
faches von b ist. 
Durch diese Festsetzung treten zu den bisherigen (natürlichen) Zahlen 
neue Zahlen, die man gebrochene Zahlen oder Brüche nennt, während 
man den ersteren zum Unterschiede von diesen den Namen ganze 
In dem Bruche , heißt a Zähler, b Nenner 
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