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Der Zahlte griff. § 1. Reelle Zahlen. 
der sich auch die Multiplikation ganzer Zahlen unterordnet. Auf 
Grund dieser Regel kann der in 8 aufgestellte Begriff der Potenz 
auf den Fall ausgedehnt werdeu, daß die Basis ein Bruch ist. 
Die Division hat notwendig der Regel 
ad ah' 
r-w = d) 
zu folgen, weil dann tatsächlich -4’j- = idV = 6 
Eine besondere Hervorhebung beanspruchen die Fälle, in welchen 
die 0, als ganze Zahl aufgefaßt, zur Bruchhildung (Division) heran 
gezogen wird. 
Die Division ^, wo b eine von 0 verschiedene Zahl ist, führt zum 
Quotienten 0, da b • 0 = 0 ist. 
Die Division q , wo a eine von Null verschiedene Zahl ist, ist un 
ausführbar, da a aus keiner Zahl durch Multiplikation mit 0 her 
vorgeht. 
Der Division ^ kann jede beliebige Zahl q als Quotient zugeordnet 
werden, da Oq = 0, welche Zahl auch q sein möge; hier fehlt also 
die eindeutige Bestimmtheit des Resultats, die bisher durchgehends 
gewahrt blieb. 
Es folgt daraus die für die Analysis wichtige Tatsache, daß die 
Null als Divisor (Nenner) unzulässig ist. 
Die Division (natürlicher) Zahlen wird in der Arithmetik noch in 
einem andern Sinne definiert, der über die natürlichen Zahlen nicht 
hinausführt. Ist a > b, so soll a als Summe aus einem Vielfachen 
von b und einer Zahl dargestellt werden, die kleiner als h (eventuell 
0) ist; mit andern Worten, die natürlichen Zahlen q, r(< h) sollen 
so bestimmt werden, daß 
a = qb + r (7) 
sei. In dieser Auffassung stellt sich die Division als wiederholte 
Subtraktion des Divisors b vom Dividenden a dar, bis ein unter b 
liegender Best r verbleibt; ist dieser 0 (wird a dadurch erschöpft), 
so heißt a durch b teilbar. 
Schließlich sei noch bemerkt, daß die Einführung der Brüche die 
Unterscheidung zwischen Multiplikation und Division entbehrlich macht; 
denn die Division von a durch b kann als Multiplikation von a mit 
dem Bruche aufgefaßt werden. Brüche mit dem Zähler 1 nennt 
man Stammbrüche. 
11. Rationale Zahlen. Die relativen Brüche im Verein mit 
den relativen ganzen Zahlen bilden das System der rationalen Zahlen. 
Innerhalb dieses Systems sind Addition, Multiplikation, Subtraktion