262 Analytische Geometrie der Ebene. § 4. Die Gerade. 
entsprechen; aus beiden Gleichungen ergibt sich durch Elimination 
von Ä, B. x — y — 
oder in anderer Anordnung: 
x„ 
y — y i 
ih — yi 
y - ih = 
y 1 
(x — x x ) 
(2) 
als Gleichung der durch M l und M. 2 bestimmten 
G Geraden. 
179. Teilungsverhältnis in der G-e- 
raden. Ein Punkt 31 in einer Geraden g, 
Fig. 68, bestimmt in bezug auf eine in der 
Geraden gegebene Strecke M x M 2 ein Teilungsver- 
Fig. G8. 
hältnis; es soll darunter das Verhältnis 
M x M 
M M, 
(1) 
verstanden werden. Umgekehrt ist die Lage eines Punktes in der 
Geraden durch die Angabe seines Teilungsverhältnisscs bestimmt, 
X also eine Koordinate des Punktes. 
Der Definition (1) zufolge ist X positiv für einen Punkt der 
Strecke M t M 2 , negativ für einen Punkt außerhalb derselben und 
unabhängig davon, welche Richtung in der Geraden als positiv an 
genommen wird. Während der Punkt die genannte Strecke durch 
läuft, variiert X von 0 bis oo, und indem 31 den Punkt M 2 über 
schreitet, ändert X sein Vorzeichen und variiert bei der weiteren Be 
wegung von 31 von — oo bis — 1, und nimmt schließlich die Werte 
von — 1 bis 0 an, indem 31 von der anderen Seite her immer näher 
an den Ausgangspunkt 3I X heranrückt. Sowie jedem andern Werte 
von X ein und nur ein bestimmter Punkt entspricht, ordnet man auch 
dem Werte — 1 einen einzigen Punkt zu und nennt ihn den unendlich 
fernen Funkt der Geraden. Dem Mittelpunkt von 31 X M 2 entspricht 
1-1. 
Bezeichnet man mit x x /y x , X^/y 2 , xjy die Koordinaten von 3£ x , 
M 2 , 31, und beachtet man, daß auch 
PiP 
Q\ Q 
PP. 
QQ, 
also 
X — X{_ 
y — 
X. — X 
y2 - 
-y 
ist, so ergibt sich: 
#1 + tx. 
y 
1 -fJl ’ 
Da durch diese Gleichungen, indem mau X von — oo bis oo 
variieren läßt, nach und nach alle Punkte der Geraden g zur Dar-