Harmonische Teilung. Abstand eines Punktes von einer Geraden. 265
sehen Normalgleichung der Geraden statt der veränderlichen Koordinaten
einsetzt.
Ist hiernach die Gerade durch die Gleichung
Ax + By + C= 0 (3)
gegeben, so ist nach den Ausführungen in 175:
^ _ Ax 0 + -Sj/o ~h P _ u\
-sgn cyjNfB 2 J
Nach dieser Vorschrift findet man den Abstand des Punktes
M 0 (3/5) von der Geraden ox — 12 y-¡-3 = 0:
15 — 60 + 3 _ 42
_ 13’
d
— y25 + 144
der durch sein Vorzeichen anzeigt, daß der Punkt auf der positiven
Seite der Geraden liegt. Der Abstand des Ursprungs von derselben
Geraden ist 3 3
— -j/25 + 144 13
und fällt notwendig negativ aus, w 7 eil der Ursprung gemäß der ge
troffenen Vereinbarung bezüglich jeder nicht durch ihn gehenden Ge
raden auf der negativen Seite liegt.
181. Dreieckslläche. Erteilt man den Eckpunkten eines Dreiecks
eine bestimmte zyklische Ordnung, so gibt man damit seinem Um
fang eine bestimmte ümlaufsrichtung und macht so die Dreieckslläche
zu einer relativen Größe. Sie soll positiv sein, wenn der Umlaufs
sinn mit dem positiven Drehungssinn der Ebene V
übereinstimmt (153), im anderen Falle negativ.
Betrachtet mau zunächst ein Dreieck OM x M 2 , ff
Fig. 71, dessen eine Ecke im Ursprung liegt, so
wird seine Fläche positiv ausfalleu, wenn der Sinn
der Strecke M X M 2 mit dem positiven Sinn der
durch die Punkte M x , M 2 bestimmten Geraden
ttbereinstimmt, im andern Falle negativ.
Die absolute Größe der Strecke M X M 2 ergibt sich als Hypote
nuse eines Dreiecks, dessen Katheten die absoluten Koordinatendiffe
renzen ihrer Endpunkte sind; ihre relative Länge ist hiernach
M x M 2 = s Y(x x — x 2 y + (y x - y 2 f, £ = sgn M x M 2 . (1)
Da die Gleichung der durch M x und M 2 laufenden Geraden nach
178, (2) in der Form
(>1 - ih) x ~ (+ - +) V + x x y 2 -x 2 y x = 0
geschrieben werden kann, so ist auf Grund der Schlußbemerkung in
180 die absolute Länge des vom Ursprung zu ihr gefällten Per
pendikels _
h = Xl v ~ ’ L " 21,1 := , £ = sgn (x x y 2 — x 2 y x ). (2)
Fig. 71.
y_i — ■’h Vi
■Vl X l — + (2/1
vN
