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.Analytische Geometrie der Ebene. § 4. Die Gerade. 
Daraus berechnet sich die relative Größe des Dreiecksinhaltes 
J = d. i. 
0^2- xtyj. 
Sind nun r 1 /cp 1 , r 2 jcp. 2 die Polarkoordinaten von M v M 2 in bezug 
auf OX, so folgt aus 
daß 
x x . ?/, 
C0S Tl=:fS sm <Px = ; 
'1 r l 
C0S T 2 = 7 ; sin = 7 ; 
sin (qp 2 — gq) 
^1 Vi — X ~2 Vl 
und weil die Punkte an die Gerade gebunden sind, so ist cp 2 — cp x < n, 
folglich 
sgn (cp 2 - <p x ) = sgn sin (qp 2 — = sgn Oi y % —X* y x ), 
und da nach den getroffenen Vereinbarungen 
sgn (cp 2 - gq) = sgn M 1 M 2 , 
SO ist B = s, folglich 
J 1 r x 1 ^12/1 
0 = 0 (3) 
Diese Formel gibt also den relativen Inhalt des Dreiecks OM x M 2 
entsprechend den über den Umlaufssinn getroffenen Festsetzungen. 
Um den relativen Inhalt eines Dreiecks M X M 2 M S in allgemeiner 
Lage zu bestimmen, braucht man sich nur zu denken, das Koordinaten 
system sei durch Translation nach dem Anfangspunkt M ?> verschoben 
worden (168); dann sind x t — x 3 /y l ~y 3 , x 2 — x ?> /y 2 — y 3 die Koordi 
naten der Punkte M 1} M 2 im neuen System, auf das die Formel (3) 
zur Anwendung gebracht werden kann; demnach ist nun 
j = 2 {Ol - •%) Oa - y%) - O2 - x s) (;Vi - Vs)} 
1 U - Vi Vl — ih 
2 x. 2 - x 3 y 2 — y s 
U - Vx - Hz 1 
a ^2 “ x ä Ik — fh 1 
! x s Vs Vs 1 
U, Vi 1 
2 ^2 «/2 1 • 0) 
x 3 y z 1 
Die geometrische Tatsache, daß bei zyklischer Vertauschung der 
Buchstaben M x , M 2 , M 3 der Umlaufssinn des Dreiecks sich nicht 
ändert, hat ihr arithmetisches Aquivalen darin, daß die letztangeschriebene 
Determinante bei zyklischer Vertauschung der Zeilen ihr Zeichen nicht 
ändert; wohl aber ändert sie es bei Vertauschung zweier Zeilen, es 
kehrt sich aber anch der Umlaufssinn des Dreiecks um, wenn man 
zwei der Buchstaben miteinander vertauscht.