Dreiseitfläehe. Winkel zweier Geraden. 
269 
Das Verschwinden der Determinante I) zeigt an, daß die drei 
Geraden (1) durch einen Punkt gehen; denn nur in diesem Palle ist 
die von ihnen umschlossene Fläche Null. 
184. Winkel zweier Geraden. Von dem Winkel zweier 
Geraden kann in bestimmter Weise nur dann gesprochen werden, 
wenn sie gerichtet sind und ihre Reihenfolge festgesetzt ist. Sind 
g x , (j.-, zwei gerichtete Gerade, g{, gi die gleich gerichteten Parallel 
strahlen durch 0, a t , cc 2 ihre Richtungswinkel, so soll der Winkel co 
von g t und g 2 definiert werden durch: 
a) 
CO 
«. • 
Sind die Geraden nicht gerichtet, und ist ihre Ordnung nicht fest 
gesetzt, so bestimmen sie zwei absolute Winkelgrößen, die sich zu 
180° ergänzen, und eine davon ist durch den Winkel der positiven 
Normalen gegeben; es ist diejenige, in deren Winkelfläche der Ur 
sprung nicht enthalten ist. Nennt man die Richtungswinkel der Nor 
malen a{, a-z, so ist, vom Vorzeichen abgesehen, 
(2) 
o/ = «2 — CCf 
einer der Winkel der Geraden. 
Hat man die Hess eschen Normalgleichungeu der Geraden, so 
enthalten sie unmittelbar die Daten zur Berechnung von 
(3) 
(4) 
cos co' = cos ai cos a{ + sin ai, sin a[, 
sin co' = sin «2 cos a[ — cos «2 sin a[. 
Sind die Geraden in der allgemeinen Form 
(5) 
(6) 
A x x -j- B x y + C x = ö 
A 2 x -f- B 2 y -f- C 2 = 0 
gegeben, so setze man sie nach der in 175 entwickelten Regel in die 
Hessesche Normalform um und erhält dann nach Vorschrift von (3) 
und (4) 
A l A i + E x B., 
COS CO 
Bgn^CzViAlA Bl){Al + £*)’ 
A x B i — A s B x 
(8) 
sin CO 
sgn c t a 2 y {Ä 2 + B\){A\ A B\) ' 
Die beiden Geraden (5), (6) stehen aufeinander senkrecht, wenn 
cos co' = 0, wenn also 
AA + BJ\ = 0, 
(9) 
und sie sind zueinander parallel, wenn sin co' = 0, d. h. wenn 
A a B. 
(10)