272 
Analytische Geometrie der Ebene. § 4. Die Gerade. 
186. Teilungsverhältnis im G-eradenbüschel. Die beiden 
Geraden g 1 , g 2 , Fig. 72, welche das Strahlenbüschel bestimmen, seien 
in der 174 festgesetzten Art gerichtet und 
durch ihre Hess eschen Normalgleichuugen 
g x = x cos K x -\-y sin a x — p t = 0 (1) 
g i — x cos a 2 -+- y sin cc 2 — p 2 = 0 (2) 
gegeben. Sie zerlegen die Ebene in vier Felder, 
die sich in zwei Paare gegenüberliegender sondern; 
geht keine der Geraden durch den Ursprung, so 
Fi s- 72 - lassen sich die Paare derart voneinander unter 
scheiden, daß man das den Ursprung enthaltende als innere Winkel- 
fläche, das andere als äußere Winkel fläche der beiden Geraden bezeichnet. 
Es sei nun , 
Pi-Pi-*?.- 0 (3) 
eine bestimmte Gerade des Büschels und M(xfy) ein Punkt derselben; 
dann haben die Ausdrücke g x , g 2 , mit diesen Koordinaten gebildet, die 
Bedeutung der Abstände d\ } d 2 des Punktes M von den beiden Grund- 
geraden; für diese Abstände besteht somit die Gleichung: 
d 1 — ld 2 = 0, 
aus der sich 
l = = sin iM'-) 
s -2 si *(9i9s) 
ergibt. 
Bei der vorausgesetzten Darstellung der Geraden bedeutet also 
der Parameter l das Abstandsverhältnis eines beliebigen Punktes der 
g ? von den beiden Grundgeraden, zugleich das Sinusverhältnis der 
Winkel, in welche (g x , g 2 ) durch g x geteilt wird. Man bezeichnet 
dieses letztere Verhältnis als das Teilungsverhältnis der Geraden g } in 
bezug auf g x , g 2 \ es ist positiv in der inneren Winkelfläche, negativ 
in der äußeren, weil im ersten Falle d 1? ö. 2 entweder beide positiv 
oder beide negativ sind, während sie im zweiten Falle ungleiche 
Zeichen haben; unabhängig ist das Teilungsverhältnis von der Reihen 
folge der Grundgeraden. 
Für die Halbierungslinie der inneren Winkelfläche ist l = 1, für 
jene der äußeren Winkelfläche = — 1; hiernach sind 
9i ~ ffi = 0 
fh + 9i = 0 
(5) 
die Gleichungen dieser Halbierungslinien. 
Sind g\ g" zwei Gerade des Büschels, so nennt man den Quo 
tienten ihrer Teilnngsverhältnisse ihr Doppelverhältnis in bezug auf 
<Jl ’ <J -' sin g') % sin {g l fiQ = l' 
sin (0'&)’ sin (g"g t ) V' 
(6)