Teilung«Verhältnis im Geradenbüschel. Harmonische Strahlen. 273 
Dieses Doppelverhältnis ist positiv, wenn beide Gerade derselben 
Winkelfläcbe angehören, und negativ, wenn sie in verschiedenen 
Winkelflächen verlaufen; für das Doppelverhältnis kommt es auf den 
Sinn der Grundgeraden nicht an. 
Ist das Doppelverhältnis insbesondere = —1, 
so nennt man die Teilung harmonisch, die vier 
Geraden g x , g 2 , g', g" harmonische Strahlen. 
Um zu g' den vierten harmonischen Strahl 
g" zu konstruieren, mache man, Fig. 73, einen 
Punkt M von g' zum Eckpunkt eines Parallelo 
gramms MNj^SN^, dessen Seiten die Richtungen 
von g v g % haben; dann ist g" parallel der Dia- Fi g- 73 - 
gonale denn die Diagonalen eines Parallelogramms teilen dessen 
Winkel in gleichem absoluten Sinusverhältnis. 
Es bleibt noch festzustellen, welche Bedeutung dem Parameter g 
zukommt, wenn man den Geradenbüschel durch die Gleichung 
(?) 
9i 99-2 
die Grundgeraden aber durch die Gleichungen 
9i = Ä x x + B x y + C'i == 0, 
(8) 
(9) 
Setzt mau in die Hessesche Normalform um, so schreibt sich (7): 
sgn A\ -f- B\ g t 
9i 
sgn C x Y A l + B ' 
sgn C t ]/Al —j— B\ sgn C. 2 }/' A\ -f- Bl 
^ C >V3±M das fru 
sgn C 1 yA\ -f B\ 
das frühere 2; infolgedessen ist 
und es vertritt nun u 
sgnfiV^f +BX A 
1 sgn C 3 yA\ -f- B\ ' V ' 
187. Beispiele. 1. Ordnet man das Dreiseit g x g. 2 g 3 , dessen 
Ecken mit A 1} Ä 2 , A 3 bezeichnet werden mögen, so an, daß der Ur 
sprung im Innern der Dreiecksfläche liegt, so schreiben sich die 
Halbierungslinien der Innenwinkel in Hesse scher Normalform: 
9-2 ~ 9 s = 0 
9 3 ~ 9i = 0 
9x ~ 9-2 = 0; 
da die Summe dieser Gleichungen eine Identität ergibt, so schneiden 
sich die genannten Halbierungslinien in einem Punkte (Mittelpunkt 
des eingeschriebenen Kreises). 
C z u h e r, Höhere Mathematik. 
18