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Analytische Geometrie der Ebene. § 4. Die Gerade. 
2. Die Halbierungslinien des Innenwinkels bei Ä x und der Außen 
winkel an den beiden andern Ecken sind durch die Gleichungen 
92 ~ 9* = 0 
9-s + 9i = 0 
9i + 9 2 = 0 
dargestellt, deren Summe, nachdem man die dritte mit — 1 multi 
pliziert hat, 0 = 0 ergibt. Es schneiden sich also die Halbierungs 
linie eines Innenwinkels und die Halbierungslinien der beiden nicht an 
liegenden Außenwinkel in einem Punkte (Mittelpunkte der ange 
schriebenen Kreise). 
3. Kennt man die Kosinus der inneren Winkel bei A 1} A 27 A 3 
der Reihe nach c x , c 2 , c 3 , so sind c % Cl die Teilungsverhältnisse, 
c 8 c x c t 
nach welchen die Winkel des Dreiseits durch die Höhen geteilt werden; 
folglich sind die Höhen durch die Gleichungen 
c s92 ^29s ~ 0 
Ci9s - c s9i = 0 
c %9i ~~ c \9% ~ 0 
bestimmt; multipliziert man diese mit c n c 2 , c 3 und bildet hierauf die 
Summe, so entsteht 0=0, womit erwiesen ist, daß sich die Höhen 
in einem Punkt schneiden. 
4. Bezeichnet man die den Eckpunkten A lf A 2 , A 3 gegenüber 
liegenden Seiten mit a 1} o 2 , a 3 , so gehören zu den Mittellinien des 
Dreiecks in bezug auf die Winkel die Teilungsverhältnisse —, —, —; 
Ciij (ij (tg 
diese Bemerkung führt zu dem Nachweis, daß sich die drei Mittel 
linien in einem Punkte schneiden. 
5. In bezug auf die Geraden 
6x — 8y -f- 3 = 0 
?>x + 4 z/ — 5 = 0 
hat die ihrem Büschel angehörende Gerade 
Gx —- Sy -(- 3 + 3# + 4y — 5 = 0, 
d. i. 9x — — 2 = 0 das Teilungsverhältnis 
; = _ V& + 42 = J_ 
-y6* + 8 2 2? 
aus dessen Vorzeichen zu erkennen ist, daß sie in der inneren Winkel- 
häche liegt.