Kreisgieichungen. 
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§ 5. Der Kreis 
188. Gleichung des Kreises in rechtwinkligen Koordi 
naten. Drückt man die geometrische Tatsache, daß ein beliebiger 
Punkt M(x/y) des Kreises vom Mittelpunkt Q(aji) die Entfernung 
r hat, analytisch aus, so ergibt sich die Gleichung des Kreises, die 
in rationaler Form lautet: 
(1) 
(x — a) 2 + {y — fr) 2 = r 2 . 
An der entwickelten Form 
(2) 
x 2 + V 2 ~ 2ax — 2hy + a 2 + fr 2 — r 2 = 0 
bemerkt man, wenn man sie mit der allgemeinen Gleichung zweiten 
Grades: 
Ax 2 -j- 2Bxy -f Cy 2 + 2Bx + 2Ey -f- F — 0 (3) 
vergleicht, das Fehlen des Gliedes mit xy und die Gleichheit der 
Koeffizienten von x 2 , y 2 , so daß man die Kreisgleichung unter die all- 
gemeine Form ^ + f) + 2 Dx + 2Ey + F = 0 (4) 
stellen kann. Mit (2) verglichen führt dies zu 
woraus sich 
/•’ Yd* + JE 3 —AF 
r - 1 —.— 
Ti 
(5) 
ergibt. 
Setzt man die Koeffizienten in (4) als reell und A 4= 0 voraus, 
so sind die Koordinaten von Sl reell und endlich; hingegen fällt r nur 
dann reell aus, wenn 
I) 2 A E 2 - AF^ 0; 
tritt das Gleichheitszeichen in Kraft, so wird r — 0; bei D 2 + E 2 — AF<C 0 
gibt es also keinen reellen Punkt, der der Gleichung (4) genügt. 
Um eine einheitliche Ausdrucksweise zu haben, sagt man unter 
allen Umständen, die Gleichung (4) stelle einen Kreis dar, der reell, 
ein Kulikreis oder imaginär sein kann. 
189. Gleichung des Kreises in schiefwinkligen Koordi 
naten. Bezeichnet 0 den Koordinatenwinkel, so erhält die geometrische 
Grundeigenschaft des Kreises den analytischen Ausdruck 
(x — a) 2 + (y — fr) 2 + 2(x — a)(y — fr) cos 6 = r 2 . (1) 
Die entwickelte Form 
x 2 4- 2xy cos 0 + y 2 —■ 2{a + fr cos &)x — 2 (fr + a cos 9)y 
+ a 2 + &2 + 2«frcosö-r 2 = 0 
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(2)