Irrationale Zahlen. 
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2. Das Verfahren, welches die Arithmetik zur Ausziehung der 
Quadratwurzel lehrt, auf den vorliegenden Pall angewendet, ist im 
Grunde genommen eine systematische Entwicklung von Zahlen der 
Klasse A, denen, wieder nach einem systematischen Vorgang, Zahlen 
der Klasse B zugeordnet werden können. 
Bezeichnet nämlich, in der üblichen Ausdrucks weise der Arith 
metik gesprochen, a n die auf n Dezimalen abgekürzte ]/2, so gehören 
die Zahlen 
a 2 , • ■ • a nJ • • ■ (3) 
d. i. 1, 1,4, 1,41, • • • der Klasse A an, weil ihre Quadrate kleiner 
sind als 2, und die aus ihnen durch Erhöhung der Ziffer an der 
niedrigsten Stelle um 1 abgeleiteten Zahlen 
K K K • • • K ■ ■ * ( 4 ) 
d. i. 2, 1,5, 1,42, • • • der Klasse B an, weil ihre Quadrate größer 
sind als 2. Und so wie das arithmetische Verfahren keinen Abschluß 
findet, sind auch die beiden Zahlenfolgen (3), (4) unbegrenzt fortsetz- 
bar, d. h. ist man hei einem noch so späten Gliede angelangt, so kann 
man immer wieder nach dem erwähnten Verfahren das folgende ab 
leiten. 
Jede Zahl aus (3) ist kleiner als jede Zahl aus (4); da nun 
h — a„ = und aus dem oben angeführten Grunde iedes auf a„ 
71 71 1Q n O O 71 
beliebig später folgende Glied a n+p zwischen a n und b n fällt, so ist 
a n + p ^'n ^ 7 
mit anderen Worten: zu einer beliebig klein festgesetzten positiven 
rationalen Zahl s läßt sich die Stellzahl n so bestimmen, daß 
a n + p- a n< £ 
wird bei beliebigem p. Ein ähnliches Verhalten zeigt auch die Reihe (4). 
Der Sachverhalt ist nun der, daß, wiewohl keine der Zahlen a n die 
Forderung, zum Quadrat erhoben 2 zu gehen, streng erfüllt, sie dieser For 
derung, je weiter man in ihrer Reihe vorschreitet, immer naher kommen 
in dem Sinne, daß die Differenz 2 — a\ hei beständig zunehmendem n 
beständig kleiner wird und durch entsprechende Wahl des n unter 
jede noch so kleine positive Zahl herahgedrückt werden kann. 
In diesem Sinne soll und kann die unbegrenzte Zahlenfolge (3) 
zur Definition der durch j/2 symbolisch angedeuteten Zahl verwendet 
werden. 
13. Irrationale Zahlen. Die aus der Betrachtung eines be 
sonderen Falles gewonnenen Gedankenhildungen sollen nun verallge 
meinert werden.