Arten der Kreisbüschel. Pol und Polare. 
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kreis zu allen Kreisen des Büschels (k, P), weil er Orthogonalkreis 
zu G x , 6r 2 ist. Es entstehen solcher Art zwei Kreisbüschel, die in 
folgender Beziehung zueinander stehen: das Büschel der Kreise k mit 
der Zentrallinie c, der Radikalachse B und den GVen^punkten G v G 2 , 
und das Büschel der Kreise ! mit der Zentrallinie B, der Radikal 
achse C und den Gnmi/punkten G x , G 2 verhalten sich so, daß jeder 
Kreis des einen Büschels alle Kreise des andern orthogonal schneidet. 
Man nennt Kreisbüschel, die einander in dieser Weise zugeordnet 
sind, konjugierte Kreisbüschel. 
199. Pol und Polare. Zu dieser Begriffs verbin düng hatte das 
Problem Anlaß gegeben, durch einen Punkt jP(sc 0 /yj) Tangenten an 
einen Kreis 
k{x, y) = {x — a) 2 4- {y — b) 2 — r 2 = 0 (1) 
zu legen (194, II). Drückt man die Forderung aus, die Tangente 
in einem noch unbestimmten Kreispunkte M(xjy): 
(x — a) (£ — a) + (y — b)(rj — b) — r 2 = 0 
habe durch P zu gehen, so ergibt sich zur Bestimmung von M 
nebst (1) noch die Gleichung: 
{x - a)(x 0 - a) + (y - b){y 0 - b) - r 2 = 0, (2) 
die, w r eil vom ersten Grade in x, y, eine Gerade vorstellt, die man 
als Polare des Punktes P in bezug auf den Kreis k bezeichnet. 
In entwickelter Form lauten die Gleichungen (1) und (2), wenn 
man von der Abkürzung a 2 b" z —r 2 =Ji Gebrauch macht: 
k{x, y) = x 2 + y 2 — 2ax — 2by + % = 0, (1*) 
p{x, y) = x 0 x + y 0 y - a(x + x 0 ) — b(y + y 0 ) + Ji = 0. (2*) 
Wir bringen nun mit dem System dieser 
zwei Linien den Geradenbüschel mit dem 
Träger P in Verbindung, dessen parametrische 
Gleichungen lauten: 
x = Xr. + s cos a 
V . (3) 
y = Vo + s sm «• 
Substituiert man (3) in (1*), so ergibt 
sich die in bezug auf s quadratische Gleichung 
s 2 — 2[(a — x 0 ) cos« + (b — y 0 ) sincc] s -j- k(x 0 , y 0 ) = 0; 
ihre Wurzeln s', s" bestimmen die Abstände der Schnittpunkte M',M" 
des Strahls (a) mit dem Kreise k, vom Punkte P aus gemessen, 
Fig. 83; es bestehen also zwischen diesen Abständen die Relationen: 
s' + s" = 2[(a — xj) cosk -f (b — y 0 ) sina], s's" = k(x 0 , y 0 ). (4) 
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