292 Analytische Geometrie der Ebene. § G. Die Linien zweiter Ordnung. 
Substituiert man (3) m (2*), so ergibt sich die in bezug auf s 
lineare Gleichung; 
[(>o — d) cos a + (y 0 — b) sin a] s + k(x 0 , ij 0 ) = 0, (5) 
deren Wurzel den Abstand des Schnittpunktes Q des nämlichen Strahls 
mit der Polare p bedeutet. 
Aus (4) und (5) folgt die von a unabhängige Beziehung: 
«(«' + O - 2s V', 
in der man die charakteristische Streckenrelation eines Systems har 
monischer Punkte erkennt (179, (4) ). 
Dies gibt den Satz: Die Schnittpunkte der von einem Funkte F 
ausgehenden Strahlen mit dem Kreis k tverden durch die mgeordnete 
Polare p von dem Funkte F harmonisch getrennt. 
Auf dieser Grundlage läßt sich die Polare eines im Innern des 
Kreises gelegenen Punktes P konstruieren; man führt durch F eine 
beliebige Gerade, bestimmt den harmonischen Punkt Q zu F in bezug 
auf die Schnittpunkte der Geraden mit dem Kreise; dann ist die durch 
Q zu £IP geführte Senkrechte die Polare. 
§ 6. Die Linien zweiter Ordnung'. 
200. Die allgemeine G-leichung zweiten Grades. Die 
allgemeine Gleichung zweiten Grades in den Parallelkoordinaten x, y 
umfaßt sechs Glieder: drei vom zweiten, zwei vom ersten, eines vom 
nullten Grade; sie lautet: 
f{x, y) = Ax 2 + 2jBxy + Gy 2 + 2Dx + 2Ey + F = 0. (1) 
Alle Gebilde, die durch eine in dieser allgemeinen Form ent 
haltene Gleichung dargestellt sind, nennt man „Linien zweiter Ordnung.“ 
Die Koeffizienten A, B, ... F werden als reelle Zahlen voraus 
gesetzt. Da einer von ihnen durch Division auf 1 reduziert werden 
kann, so enthält die Gleichung fünf Konstanten. Dies hat zur Folge, 
daß eine Linie zweiter Ordnung im allgemeinen durch fünf Bedin 
gungen bestimmt ist. 
Jede in Form einer Gleichung ausgedrückte Beziehung zwischen 
den Koeffizienten vermindert die Anzahl der Konstanten um eins. 
Insbesondere führen bei rechtwinkligen Koordinaten die Beziehungen 
A = C, B = 0 
zur allgemeinen Gleichung des Kreises (188), die nur noch drei 
Konstante enthält. 
Zu einer geometrischen Grundeigenschaft der Linien zweiter Ord 
nung führt die Verbindung der Gleichung (1) mit der Gleichung 
g{x,y) = ax + hg + c = 0 (2)