Spezielle Disjunktionen. Koordinatentranslation. 
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gebracht, daß die Parabel symmetrisch ist in bezug auf die Gerade 
x = -j, wobei die ¿’-Achse die Richtung der Symmetrie angibt, und 
daß die reellen Punkte auf und über der Geraden y = ~ liegen. 
205. Translation des Koordinatensystems. Die folgenden 
Untersuchungen werden es häufig notwendig machen, zu einem pa 
rallelen und gleichgerichteten Koordinatensystem überzugehen. Sind 
%Jy die Koordinaten des neuen Ursprungs, x'/y' die neuen Koordinaten 
des Punktes xfy, so gelten die Transformationsgleichungen (168): 
x = x' + g, y = y' + y, 
durch deren Anwendung sich die Gleichung (1) verwandelt in: 
fix' + y' -f- y) = Ax' 2 + 2Bx'y' + Cy' 2 -f 2(A£ + By -f B)x' 
+ 2 {.B% + Cy + E)y' + f(£,y) = 0; 
dies kann noch kürzer dargestellt werden, wenn man beachtet, daß aus 
m,v) = M 2 + 2B%y + Cy 2 + 2BI + 2Ey + F 
durch partielle Differentiation nach £ und y erhalten wird: 
U($,y) = 2(A£ + By + B) 
fq(£>v) = 2(-B£ + Cy -f- E); 
die transformierte Gleichung lautet dann endgiltig: 
Ax' 2 + 2Bx'y' + Cy' 2 + /1(1, y)x' + f!j(%,y)y' + f(%,y) = 0. (1*) 
Hieran ist als bemerkenswert hervorzuheben: 1. daß die Koeffi 
zienten der quadratischen Glieder gegenüber der Transformation in 
variant sind; 2. daß das absolute Glied in das Substitutionsresultat der 
Koordinaten |, y in die linke Seite der ursprünglichen Gleichung 
übergeht, somit verschwindet, wenn der neue Ursprung auf der Linie 
seihst liegt. 
206. Mittelpunkt. Bei dem Kreise, der Ellipse uud Hyperbel 
hat die Untersuchung zentrale Symmetrie, also das Vorhandensein 
eines Mittelpunktes ergeben. Die Frage seiner Bestimmung soll nun 
selbständig auf Grund der allgemeinen Gleichung 
f(x,y) = Ax 2 -f- 2Bxy -f Cy 2 + 2Bx + 2Ey -f F = 0 (1) 
gelöst werden.' 
Wir gehen dabei von dem Gedanken aus, daß der Ursprung dann, 
aber auch nur dann Mittelpunkt, also Zentrum der Symmetrie des 
Gebildes (1) ist, wenn die Gleichung bloß Glieder zweiten Grades 
enthält; denn nur dann wird sie, wenn durch xfy befriedigt, auch 
durch — x!— y erfüllt; Bedingung für die erwähnte Anordnung ist 
also das Fehlen der Glieder ersten Grades, d. h. 
B = 0, E= 0.