308 Analytische Geometrie der Ebene. § 6. Die Linien zweiter Ordnung. 
Bei der Parahel sind alle Durchmesser parallel und derjenige 
unter ihnen, der die zugehörigen Sehnen rechtwinklig halbiert, ist die 
einzige Achse. In der Tat gibt die Formel (9), wenn M = 0, also 
B 2 = AC ist, die beiden Werte 
A C 
B ’ B’ 
deren einer = — h, gleich dem Richtungskoeffizienten der Durchmesser 
ist (209), während der andere die dazu senkrechte Richtung be 
stimmt. 
211. Transformation der Ellipsen- und Hyperbelgieichung 
zu den Achsen. In den Achsen ist für die genannten Linien ein 
natürliches rechtwinkliges Koordinatensystem gegeben, hei dessen An 
wendung ihre Gleichungen eine besonders einfache Gestalt annehmen. 
Da nämlich der Mittelpunkt dann Ursprung ist, entfallen die Glieder 
ersten Grades in x, y, und da weiter bezüglich beider Koordinaten 
achsen Symmetrie herrscht, ist die Gleichung rein quadratisch in be 
zug auf x sowohl als y, es entfällt also auch das Glied mit dem 
Produkt xy. 
Ist die Gleichung bereits zum Mittelpunkt transformiert, also auf 
die Form 
Ax 2 -j- 2Bxy + Cy- + Cr = 0 
(1) 
gebracht (206), so handelt es sich um eine solche Rotation des 
Koordinatensystems um den Ursprung, daß das Glied mit dem Pro 
dukt der neuen Koordinaten ausfällt; ist Lfi der Rotationswinkel, so 
lauten die Transformationsgleichungen (169): 
X = X cos — y' sin 
y = x' sin & -f- y' cos fi, 
durch die (1) verwandelt wird in: 
(A cos 2 !! -f- 2Jß cos-fi sinfi -f- G sin 2 tF):r' 2 
— 2[A cosfi 1 sintt — B(cos 2 !!’ — sin 2 fi) — C cos sin &]x'y' 
+ (A sin 2 #- — 2B cos sin A C cos 2 oF)z/' 2 -f- Cr = 0; 
die angestrebte Form 
A'x' 2 + B'y' 2 + G = 0 
(2) 
tritt also ein, wenn man tf derart bestimmt, daß 
. , (A — C) sin 2-9’ — 2B cos 2& — 0 (3) 
wird. ' v 
Diese Gleichung läßt unbestimmt, wenn gleichzeitig A = G 
und B = 0 ist, also im Falle des Kreises. 
In jedem andern Falle gibt sie in 
(4)