310 Analytische Geometrie der Ebene. § 6. Die Linien zweiter Ordnung. 
von F, auf die Richtungswinkel der Achsen und das Verhältnis ihrer 
Längen nur die Koeffizienten A, JB, C der quadratischen Glieder ein. 
Hiernach stellen Gleichungen der Form (1), die sich nur in F 
unterscheiden, Ellipsen und Hyperbeln dar, die im Mittelpunkt, den 
Achsen und dem Verhältnis ihrer Längen übereinstimmen. Man 
nennt Linien dieser Art homothetisch. 
212. Scheitelgleichung der Parabel. Wegen der Beziehung 
M — JB 2 —AC — 0, die die Parabel kennzeichnet, kann deren all 
gemeine Gleichung auf die Form 
c (y + B c ctf + 2Dx + 2Ey -f .F = 0 (1) 
gebracht werden; es ist also ein charakteristisches Merkmal der Parabel 
gleichung, daß in ihr die Glieder zweiten Grades, eventuell nach Ab 
sonderung eines konstanten Faktors, ein vollständiges Quadrat bilden. 
Als Richtungskoeffizient der Parabeldurchmesser, also auch der 
A JB 
Parabelachse, ist — ^ , das gleich ist — , gefunden worden (210); 
bezeichnet man also den hohlen Richtungswinkel mit -fi, so ist 
tg# = 
ß 
C ’ 
sinfi 1 = 
— ß 
£|/ß-+ c- ' 
cos ff = 
C 
s |/S 2 + C 3 ? 
£ = _ sgn/> (2) 
Die Rotation des Koordinatensystems um diesen Winkel ver 
wandelt die Gleichung (1) in die folgende: 
coFFy 1 ^ cos + FsinF) x -f 2 (— D sin# + Fcos fi 1 ) y'-f- F= 0, 
deren allgemeine Gestalt durch 
Cy 2 + 2D'x' + 2E’y'-\- F = 0 (3) 
bezeichnet ist, wobei unter Berücksichtigung von (2) 
C . = *+01 = Ä + Gt 
CD —BE 
ßD + CE 
T>' = ----- E'= ■" • (4) 
f]/i? 2 + c- ’ 8}/ß 2 + C 2 V ' 
Übt man jetzt eine Translation nach dem noch unbestimmten 
Ursprung x 0 /y 0 aus, so verwandelt sich (3) weiter in 
Cy" 2 + 21)'x" + 2{Cy 0 + E')y" + Cy\ + 2D'x 0 + 2E'y 0 + F= 0, 
( 5 .) 
und verfügt man über den neuen Ursprung derart, daß 
C'y 0 +E' = 0 
C'yl + 21) x Q + 2E y 0 -\- F — 0 
wird, so vereinfacht sich die Gleichung schließlich auf 
C'y" 2 +2D'x" = 0. (6) 
Die zweite der Gleichungen (5) läßt erkennen, daß der Ursprung