318 Analytische Geometrie des Raumes. § 1. Der Koordinatenbegriff. 
andererseits führt (5) auf 
o 
s 
demnach ist 
f' x cos k —(— f' y sin a 
/(«o ^ %) 
s' -f- s" 2 
s's " s ’ 
Dadurch ist (179) erwiesen, daß die Schnittpunkte einer jeden 
Geraden durch P mit dem Kegelschnitt von P und seiner Polaren 
harmonisch getrennt werden. Dieser Sachverhalt kann dazu verwendet 
Averden, die Polare von P auch dann zu konstruieren, wenn aus P 
keine reellen Tangenten an den Kegelschnitt gehen. 
An die Gleichung (6), die das Produkt PM' ■ PM" der Seg 
mente bestimmt, sei die folgende Bemerkung geknüpft. 
Bei dem Kreise, wo Ä = C und P= 0 ist, hängt dieses Produkt 
von der Richtung des Strahls nicht ab und führt zu dem Begriff der 
Potenz (195). Zugleich zeigt die Gleichung (6), daß in diesem Falle 
der Ort der Punkte x 0 /y 0 , die in Bezug auf den Kreis f(x,y) — 0 
gleiche Potenz haben, ein mit ihm konzentrischer Kreis ist. 
Bei den anderen Kegelschnitten ist das Segmentprodukt s s" von 
der Richtung des Strahls abhängig; hält man diese Richtung fest 
und setzt s s" • (A cos 2 a -j- 2 B cos a sin a -j- C sin 2 a) = Z', so schreibt sich, 
der Ort von Punkten x 0 /y 0 , für die das Segmentprodukt bei der an 
genommenen Richtung a konstant ist, 
f CG); Vo) = k- 
Dies stellt aber nach den Bemerkungen am Schlüsse von 211 und 
212 einen zu f {x, y) = 0 homothetischen Kegelschnitt vor. 
Es gehört also zu jedem Kegelschnitt, der mit einem Grund 
kegelschnitt horaothetisch ist, eine (und wegen der Symmetrie eine 
zweite) Richtung, bei welcher der erstgedachte Kegelschnitt der Ort 
von Punkten ist, denen in Bezug auf den Grundkegelscbnitt ein kon 
stantes Segmentprodukt s's" zukommt. 
IX. Abschnitt. 
Analytische Geometrie des Raumes. 
§ 1. Der Koordinatenbegriff. 
217. Das rechtwinklige Koordinatensystem. Nimmt man 
im Raume drei gerichtete Gerade an, die durch einen Punkt gehen, 
und deren jede auf den beiden anderen senkrecht steht, wählt den ge 
meinsamen Punkt für alle drei Geraden als Nullpunkt (Anfangspunkt)