320 Analytische Geometrie des Raumes. § 1. Der Koordinatenbegriff. 
nale in dem zugehörigen Koordinatenparallelepiped. Bezeichnet man 
ihre absolute Länge mit r, die Koordinaten von M mit x, y, z, so ist 
r = Yx 1 2 + if + z 2 • (1) 
■die Quadratwurzel mit dem absoluten Betrag genommen. 
Faßt man x, y, z als variabel auf, so ist durch die Gleichung 
x 2 + V 2 + £ 2 = r 2 (2) 
der Inbegriff aller Punkte gekennzeichnet, die vom Ursprung den Ab 
stand r haben; ihr Ort ist die mit dem Radius r um 0 beschriebene 
Kugel, (2) also die Gleichung dieser Kugel. 
219. Abstand zweier Funkte. Legt man durch zwei Punkte 
my X 1 /V\ /u); Af 2 (x 2 ly 2 l2%) zu den Achsen senkrechte Ebenen, so be 
grenzen diese bei allgemeiner Lage der Punkte ein Parallelepiped, 
dessen Kanten an Länge gleich sind den absoluten Koordinatendiffe- 
renzen der beiden Punkte. Demnach ist die absolute Länge d der 
Strecke M 1 ]\I 2 bestimmt durch 
d = Y{x x — x 2 y + (y t - y s ) 2 + O t - z 2 y. (3) 
220. Richtungswinkel einer Geraden. Eine Gesamtheit 
von parallelen und gleichgerichteten Geraden des Raumes ist hinsicht 
lich ihrer Richtung durch eine unter ihnen 
bestimmt; als solche werde diejenige, g, ge 
wählt, die durch den Ursprung geht, Fig. 98. 
Die hohlen Winkel, welche g mit den 
positiven Richtungen der Achsen bildet, — 
sie seien cc, ß, y — bezeichnet man nicht nur 
als ihre eigenen, sondern auch als die Richtungs- 
winlcel jeder Geraden aus der erwähnten Ge 
samtheit. 
Durch eine gerichtete Gerade sind die drei Winkel cc, ß, y ein 
deutig bestimmt. Das Umgekehrte trifft nicht zu. Sind cc, ß ge 
geben, so kommt es darauf au, körperliche Ecken zu konstruieren, 
deren eine Seite XOY ist, während die den Kanten OY, OX gegen 
überliegenden Seiten a, ß sind; das ist jedoch nur möglich, wenn 
« + ß ^ ^ ) ist; gilt das obere Relationszeichen, so ergeben sich zwei 
körperliche Ecken, also auch zwei Gerade mit den Richtungswinkeln 
cc, ß, deren dritter Richtungswinkel schon bestimmt ist; gilt das untere 
Zeichen, so fällt die Ecke in die xy-YA)Q\\e zusammen, es gibt nur 
eine Ecke mit den Richtungswinkeln cc, ß, während der dritte n ist. Ist 
1) Und weiter a -f- ^ ß, ß -f- ~ cc. 
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