322 Analytische Geometrie des Raumes. § 1. Der Koordinatenbegriff. 
woraus 
Daraus berechnet sich (116) 
sin 2 £o = l — (cos cq cos a 2 + cos ß 1 cos ß 2 + cosy x cos y 2 ) 2 
= (cOS 2 ^ + COS 2 ß 1 4- COS 2 ^j) (cos 2 a 2 + COS 2 /3 2 + COS 2 7 2 ) 
— (cOSKj cos cc 2 + COS/3 2 COSjS 2 4" COSJ'jl cosy 2 ) 2 
= (COS cosy 2 — cosß 2 COS^) 2 4- (C0S7! cos a 2 — cos y 2 cosaj 2 
4- (COSC^ COS/lg — c °Sor 2 COS/3i) 2 7 
sin CO = 
1/(008/3! cos y 2 — cos ß 2 cos yß) 2 4* (cos y^ cosa 2 — cosy 2 cosoc 1 ) 2 4-(cosa 1 cos/3 2 — cosagcos^) 2 , (2) 
die Wurzel positiv genommen, weil co unter allen Umständen hohl ist. 
Aus (1) ergibt sich die Bedingung für das Senkrechtstehen: 
cos cos a 2 4- cos ß 1 cos ß 2 -f cos y 1 cos y 2 = 0, (3) 
aus (2) die für den Parallelismus: 
_ cos ß 1 _ _ cos 7l # 
cos cq 
cos 
| M 
v • 
w ; 
a 
X 
cos ß. 2 cos 5 
sind die Geraden auch gleich gerichtet, so haben die drei Quotienten 
den Wert 1, im andern Falle den Wert — 1. 
222. Räumliche Polarkoordinaten. Die Lage eines Punktes 
im Raume kann in bezug auf ein recht 
winkliges Koordinatensystem auch in folgen 
der Art beschrieben werden. Man gibt die 
Länge r der Strecke an, die den Punkt M 
mit dem Ursprung verbindet (den Radius 
vektor), ferner den Winkel cp, den die Rich 
tung OP mit der positiven Richtung der 
x-Achse, endlich den Winkel 6, den die 
Richtung OM mit der positiven Richtung 
Fi 8- 10 °- der s- Achse bildet, Fig. 100. Die drei 
Zahlen r, cp, 6 bezeichnet man als die räumlichen Polarlcoordinaten des 
Punktes M und schreibt M(r/cp/6). 
Um alle Punkte des Raumes beschreiben zu können, genügt es, 
0 auf das Intervall (0, n), cp auf das Intervall (0, 2tt) zu beschränken, 
während r alle Werte aus (0, oo) aunehmen kann. 
223. Flächen. I. Eine Fläche ist geometrisch definiert, wenn 
ein Konstruktionsverfahren angegeben ist, durch das beliebig viele 
ihrer Punkte bestimmt werden können. 
Bezieht man eine so definierte Fläche auf ein Koordinatensystem, 
so hat die Einheitlichkeit des Konstruktionsverfahrens zur Folge, 
daß zwischen den Koordinaten eines Punktes der Fläche eine für alle 
Punkte gleichlautende Gleichung besteht, die man als die Gleichung 
der Fläche bezeichnet.