328 Analytische Geometrie des Raumes. § 2. Koordinatentransformation.
227. Allgemeine Transformation rechtwinkliger Koor
dinaten. Der Übergang von einem rechtwinkligen System zu einem
andern, dessen Ursprung die Koordinaten x 0 , y 0 , z 0 hat, und dessen
Achsen die Richtungskosinus a., b i} c { (i = 1, 2, 3) besitzen, läßt sich
als eine Sukzession von Translation und Rotation darstellen; die zu
gehörigen Substitutionsgleichungen ergeben sich daher durch Verbindung
der Gleichungen 225, (1.) mit 226, (1.) und lauten:
x = x 0 -)- a t x' + a 2 y' + a 3 z'
y = Vo + + \y + h*' (1)
* = ^0+ W c 2 y’ + C 3 z'.
Die inverse Substitution geht daraus durch denselben Prozeß
hervor, der in 226 befolgt wurde, und lautet:
= a x {x — x 0 ) + \{y- y 0 ) + c t {0 — z 0 )
y'=a 3 (x — x 0 ) + b 2 [y — y 0 ) + c 2 (z — z 0 ) (2)
*' = a s (x — x 0 ) + h 3 (y - y 0 ) -f- c 3 (z - z 0 ).
Im Anschlüsse an die oben vorgeführten Transformationen recht
winkliger Koordinaten sei das folgende bemerkt.
In allen Fällen war die Substitution bezüglich der neuen und alten
Koordinaten linear. Die Einführung einer solchen Substitution in eine
algebraische Punktion w-ten Grades ändert an deren Charakter
nichts, d. h. führt wieder zu einer algebraischen Funktion des
selben Grades. Daraus geht hervor, daß die Ordnung einer algebraischen
Fläche unabhängig ist von dem zugrunde gelegten (Parallel-)Koor-
dinatensystem, daß sie also eine der Fläche als solcher zukommende,
eine rein geometrische, Eigenschaft bezeichnet.
228. Rechtwinklige und Folarkoordinaten. Der Zusammen
hang zwischen den rechtwinkligen Koordinaten eines Punktes und den
auf dasselbe Achsensystem bezogenen Polarkoordinaten ergibt sich
aus Fig. 100. Aus den rechtwinkligen Dreiecken OFM und OQF
folgt:
x = r sin 6 cos cp
y = r sin 0 sin cp (1)
z = r cos 0 .
Die inverse Substitution wird durch folgende Gleichungen ver
mittelt, die sich in leicht ersichtlicher Weise aus (1) ergeben:
r = ]/« 2 -f- y 2 -f z 2
COS cp =
Yx 2 + y-
sm Cp
y
V x * + y*‘
cos 6 = — ,
r 7
(2)
