330 Analytische Geometrie des Raumes. § 3. Ebene und Gerade. 
eine zur x-Achse senkrechte Ebene; und daß weiter eine Gleichung 
ersten Grades mit zwei Koordinaten einer Ebene zugehört, die auf 
der Ebene dieser Koordinaten normal steht und zu den beiden andern 
Koordinatenebenen geneigt ist; so entspricht der Gleichung 
Ax + By -f D = 0 
eine Ebene, die zur xy-Eihene senkrecht, zur yz- und zx-Ebene ge 
neigt ist. 
Am Schlüsse von 224 ist festgestellt worden, daß eine algebra 
ische Fläche w-ter Ordnung durch eine Koordinatenebene nach einer 
algebraischen Kurve n-ter Ordnung geschnitten wird. Da nun durch 
eine Koordinatentransformation einerseits die Ordnung der Fläche 
nicht geändert wird (227), andrerseits die schneidende Ebene in eine 
allgemeine Lage zum Koordinatensystem gelangt, so ist es ein Merk 
mal der algebraischen Flächen, daß sie durch Ebenen nach algebraischen 
Kurven der gleichen Ordnung geschnitten werden. 
230. Anzahl der Konstanten. Gleichung der Ebenen 
durch einen Funkt. Die allgemeine Ebenengleichung 
Äx + By + Gz Ä B = 0 (1) 
enthält vier Koeffizienten, die sich aber auf drei Konstanten reduzieren; 
es geht dies aus der im Gange ihrer Ableitung 229 gemachten Be 
merkung hervor, daß nach erfolgter Wahl von q die Koeffizienten A, B, C 
einer Bedingung unterliegen, leuchtet aber auch daraus ein, daß man 
durch einen Koeffizienten dividieren und die drei entstehenden Koeffi- 
zientenverhältuisse als neue Konstanten einführen kann. 
Daraus folgt, daß durch drei Bedingungen eine Ebene im all 
gemeinen (ein- oder mehrdeutig) bestimmt ist. Sind ihr weniger als 
drei Bedingungen auferlegt, so bleibt eine Unbestimmtheit übrig, die 
zur Folge hat, daß man zu einem unendlichen System von Ebenen 
geführt wird, die den Bedingungen genügen. 
Wird von der Ebene verlangt, sie solle durch einen gegebenen 
Punkt M 1 (x 1 ly 1 /z 1 ) gehen, so vermindert sich die Zahl der Konstanten 
um eine, und es bleibt eine zweifache Unbestimmtheit übrig; denn die 
Forderung führt zu dem Ansätze 
A x x -f- By x -(- Gzj -f- B — 0, 
und bei seiner Subtraktion von (1) entfällt ü; die entstandene Glei- 
Chu " g A{x - x,) + B(y - y,) + CO - *,) = 0 (2) 
enthält nur mehr drei Koeffizienten, also zwei Konstanten. 
Die Gesamtheit der Ebenen durch einen Punkt M x nennt man 
einen Ebenenbündel, M x seinen Träger; (2) ist also die Gleichung 
■eines Ebenenbündels. 
231. Gleichung der Ebene, die durch drei gegebene