Tetraedervolumen. Winkel zweier Ebenen. 
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Ein neues zeichenbestimmendes Moment für J ergibt sich, wenn 
man auf der positiven Seite der Ebene M 3 M 3 M 4l eine positive 
Drehungsrichtung annimmt und nach dieser das Vorzeichen von z/ 
bestimmt (181). Setzt man 
J = 
x i V\ z \ 1 
X 2 V-2 *2 1 
Uä h 1 
x a yi'h 1 
(2) 
so gibt die Formel den Rauminhalt des Tetraeders je nach seiner 
Anordnung gegen das Koordinatensystem positiv oder negativ; ein 
spezieller Fall wird darüber näheren Aufschluß geben. Verlegt man 
M t nach 0, M 3 , M 3 , Af 4 in die positive x-, bzw. y- und ¿-Achse in 
den Abständen a, b, c vom Ursprung {a > 0, & > 0, c > 0), so gibt 
die Formel (2) 
0 0 0 1 
a 0 0 1 
J== ! 0 h 0 1 
0 0 C 1 
~ ob c, 
also ein negatives Resultat; das Dreieck M 3 M 3 M± zeigt jetzt, von O 
aus betrachtet, den entgegengesetzten Umlaufsinn des Uhrzeigers, 
während es von der positiven Seite der Ebene aus gesehen, den 
Drehungssinn des Uhrzeigers selbst aufweist. 
Es gibt also die Formel (2) den Inhalt des Tetraeders positiv, 
wenn von M 1 aus der ümlaufssinn von M 2 M 3 als 
der des Uhrzeigers erscheint, im andern Falle negativ. 1 ) 
236. Winkel zweier Ebenen. Solange die 
Seiten der Ebenen nicht unterschieden, ihre Normalen 
also nicht gerichtet sind, kann von einem bestimmten 
Winkel der Ebenen nicht gesprochen werden. Hat 
man aber für jede Ebene die positive Seite und damit für ihre 
Normale die positive Richtung festgesetzt, dann soll unter dem Winkel 
der beiden Ebenen der (hohle) Winkel ihrer positiven Normalen ver 
standen werden. 
Hält man an den Festsetzungen in 233 fest, und sind die Ebenen 
in der Normalform 
Mg. 108. 
1) Diese Kegel gilt für die hier gewählte Orientierung des Koordinaten 
systems, bei der vom Ursprung aus betrachtet die positive x-, y- und ¿-Achse im 
umgekehrten Sinne der Uhrzeigerdrehung aufeinander folgen; ändert man die 
Orientierung nach der Art der Fig. 108, so kehren sich die Angaben um. (Ygl. 
O. Staude, Analyt. Geometrie etc., Leipzig 1905, p. 151). 
Czuber, Höhere Mathematik. 22