338 Analytische Geometrie des Raumes. § 3. Ebene und Gerade. 
iCCOSCCj + y cosß + Z COS y 1 —1\ = 0 (1) 
x cos « 2 + y cos ß 2 -f z cos y 2 — p 2 = 0 (2) 
gegeben, so hat man für den definierten Winkel unmittelbar den 
Ansatz (221); 
COS CO = COS«], cos a 2 -f cosß 1 cosß 2 + cos y t COS ^2- (3) 
Von da aus gestattet auch der allgemeine Fall, daß die Ebenen 
durch 
A t x ^B x y C 1 z -J- D x = 0 (4) 
A 2 x + B 2 y -f- C 2 z + D 2 — 0, (5) 
gegeben sind, einfache Erledigung; man denke sich diese Gleichungen 
auf die Normalform zurückgeführt und hat dann 
cosco 
Sgn JD, D, ]/{A\ + Rf + Cf) {AI + BI + CI) 
daraus berechnet sich 
{A\ + Bl + CI) {AI + Bl + G|) - {A t A 2 -f B, B 2 + Cj C,Y 
(6) 
sm“(0 
{Al + Bl + Cf) {AI + B| + C|) 
und schließlich (116) 
= y{B 1 C 2 - B 2 C i y + {C 1 A 2 - G 2 A 1 ) ¿ + (A, B s - J 2 B~y 
sin co 
(Af + JBÍ + Cf) {AI + BI + CD 
(7) 
die Wurzel positiv genommen, weil co ein hohler Winkel ist. 
Läßt man in der Formel (6) den Zeichenfaktor weg, so bestimmt 
sie einen der Winkel der ungerichteten Normalen; Formel (7) bestimmt 
beide als suplementäre Winkel. 
Für die Ebenen 
3x — 2y — 4z + 3 = 0 
x öy — 2z — 4 = 0 
ergibt sich beispielsAceise 
i 
cos CO = — 
V870 
und co = 91°56'34",4 als Maß des Keils, dem der Ursprung nicht 
an gehört. 
237. Senkrechte und parallele Ebenen. Aus den eben ab 
geleiteten Formeln lassen sich die Bedingungen ablesen, unter welchen 
zwei Ebenen 
Ä 1 x + B t y D G 1 z — 0 (4) 
-4.2 x -J- B 2 x -J- C2 z -f- D 2 = 0 (5) 
aufeinander senkrecht stehen, beziehungsweise parallel sind. 
Formel (6) zeigt, daß die Ebenen aufeinander senkrecht stehen, 
wenn 
AA + B l B a + 0^= 0, (8)