Winkel zweier Ebenen. Ebenenbüschel. 
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weil dann und nur dann cos co = 0 ist; und Formel (7), daß sie pa 
rallel sind, wenn 
A t = B 1 _ C\ 
A b 2 c 2 ’ 
(9) 
weil dann und nur dann sin co = 0 ist. 
Auf Grund dieser Merkmale erkennt man also die Ebenen 
3x — 2y -f 2z — 1 = 0 
4x + 4?/ — 2 z -f 3 = 0 
als aufeinander senkrecht, die Ebenen 
2x — Sy — z -f- 4 = 0 
— 4x -f- Sy -f 2z — 5 = 0 
als parallel. 
238. Ebenenbüschel, bestimmt durch zwei Ebenen. Zwei 
Ebenen 
= A x x + B x y -f- G x z + D x = 0 (1) 
A 2 — A 2 x -f- B 2 y -\- C 2 z -f- B 2 = 0 (2) 
bestimmen einen Ebenenbüschel als Gesamtheit der Ebenen, die durch 
ihre Schnittlinie gehen. Alle diese Ebenen sind in der Gleichung 
E x X E 2 = A x x 4- B x y -f- C x z -f- D x — X (M 2 x + J? 2 y -f- C 2 z -f- -D 2 ) = 9 (3) 
enthalten. In der Tat stellt diese Gleichung, weil vom ersten Grad 
in x, y, e, eine Ebene dar, und da sie durch jeden Punkt befriedigt 
wird, der (1) und (2) zugleich erfüllt, so enthält die Ebene die ge 
meinsamen Punkte der Ebenen E x , E 2 , geht also durch deren Schnitt 
linie. Durch Spezialisierung des Parameters X wird eine bestimmte 
Ebene aus dem Büschel herausgehoben; bei A = 0 ist es die Ebene E v 
bei X = oo die Ebene E 2 . 
Die drei Gleichungen 
E x = 0, E,= 0, E x -XE 2 = 0 
haben die Eigenart, daß sie nach Multiplikation der ersten mit — 1 
und der zweiten mit X zur Summe eine identische Gleichung haben; 
man kann diese Bemerkung dahin verallgemeinern, daß drei Ebenen 
E v E 2 , E Sj zu deren Gleichungen sich Multiplikatoren y v y 2 , a., be 
stimmen lassen derart, daß 
. u i E x + u 2 E 2 -f- y 3 E s = 0 
ist, durch eine Gerade gehen. Denn, aus dieser Identität folgt 
E% = E x — — E 2 , 
somit ist E s = 0 gleichbedeutend mit ;il E. -f E 0 = 0 oder E. — XE a = 0 
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