342 Analytische Geometrie des Raumes. § 3. Ebene und Gerade. 
sgnDi y Jl + B\ 4- Cf 
Ei 
sgn D.yÄl + Bl + Ci 
(11) 
(10) 
240. Ebenenbündel, bestimmt durch drei Ebenen. Drei 
Ebenen 
E 1 — H. 4 x -j- -B 4 y -j~ U 4 z -(- jDj = 0 
E 2 = jL 2 x -f J5g y -j- G 2 z -)- E2 = 0 
E 3 = A 3 x + B32/ + 0 3 * -f- _D 3 = 0 
(1) 
(2) 
(3) 
bestimmen einen Ebenenbündel als Gesamtheit der durch ihren gemein- 
samen Punkt gehenden Ebenen. Alle diese Ebenen sind in der mit 
den unbestimmten Multiplikatoren X, y gebildeten Gleichung 
E x — XE 2 — yE 3 = 0 
(4) 
enthalten; denn diese Gleichung stellt bei jedem X, y eine Ebene dar 
und wird durch dasjenige Wertsjstem x, y, z befriedigt, das den , 
Gleichungen (1), (2), (3) zugleich genügt. 
Die vier Gleichungen 
geben, nachdem man die erste mit —1, die zweite und dritte mit X, 
bzw. y multipliziert hat, zur Summe eine identische Gleichung. Um 
gekehrt, besteht zwischen vier linearen Funktionen E 1} E 2 , E 3 , E± 
von x, y, z eine identische Gleichung von der Form 
~k ^2 ^2 ~k % -®3 "k ^4 E x — 0 
so läßt sich eine der vier Gleichungen E i = 0, z. B. ÜJ 4 =0, durch 
die andern in der Gestalt (4) darstellen; denn aus der Identität folgt 
und die Gleichung E i = 0 ist hiernach gleichbedeutend mit 
E i — X E 2 — yE 3 = 0, 
wenn % ' 2 = — X, = — y gesetzt worden ist. 
Man kann al so sagen: Wenn sich zu den Gleichungen E t =0 (* = 1,2,3,4) 
von vier Ebenen Multiplikatoren x x , x 2 , x 3 , x 4 bestimmen lassen derart, 
daß 
x^E^ -f- x 2 E 2 -f- x 3 E 3 -f- ^4E x — 0 
ist, so gehen die vier Ebenen durch einen Punkt. 
241. Beispiele. 1. Die Halbierungsebenen der Flächeuwinkel 
eines Dreikants schneiden sich in einer Geraden. 
Ordnet man das Koordinatensystem so an, daß sein Ursprung im 
Innern des Dreikants liegt, und sind 
# 1= 0, H 2 =0, H 3 = 0