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Analytische Geometrie des Raumes. § 3. Ebene und Gerade. 
eine weitere Darstellung der Geraden. Weil bei einer Geraden, die 
durch einen gegebenen Punkt geführt wird, nur noch die Richtung- 
frei bleibt, so sind die Nenner p, r bestimmend für die Richtung 
der Geraden. Bei unbestimmtem p, g, r sind in (3) alle Geraden 
durch den Punkt M 0 enthalten, ihre Gesamtheit heißt ein Geradenbündel. 
In dem Ansatz (3) sind zwei voneinander unabhängige Gleichungen 
enthalten; die drei Gleichungen, die sich daraus ablesen lassen, be 
stimmen die Projektionen der Geraden auf den drei Koordinatenebenen. 
Um z. B. die Gerade 
x + 3y — 2z — 7 = 0 
2x — 4y — 3# — 2 = 0 
in der Form (3) darzustellen, muß erst ein Punkt auf ihr bestimmt 
werden; nimmt man ¿r 0 =0 (oder sonst beliebig) an, so hat man zur 
Berechnung von y 0 , z 0 die Gleichungen: 
3y 0 — 2^ 0 - 7 = 0 
4Vo + +2 = 0, 
aus denen sich y 0 = 1, z 0 = — 2 ergibt; die Nenner sind die Deter 
minanten zweiten Grades aus der Matrix 
l'3-2 
2 - 4 — 3; 
mithin lauten die Gleichungen: 
X y — 1 2 + 2 
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245. Parametrische Gleichungen der Geraden. Die drei 
Quotienten, die in den Gleichungen (3) auftreten, ändern, während der 
Punkt M{xJyjs) die Gerade durchläuft, ihren gemeinsamen Wert; 
bezeichnet man diesen mit u, so löst sich der Ansatz (3) in die 
GleichLingen auf: 
X = x 0 + pu 
y = y Q +qu (4) 
Z = 0 Q + TU. 
Diese Darstellung der Geraden heißt 
eine parametrische, weil die Koordinaten 
des laufenden Punktes der Geraden als 
Funktionen des veränderlichen Parameters u gegeben erscheinen. 
Eine andere paranietrische Darstellung ergibt sich durch folgende 
Betrachtung. Bezeichnet mau den variablen Abstand des laufenden 
Punktes M } Fig. 110, von dem festen Punkte M 0 mit s, dabei s als 
relative Größe auffassend, die positiv ist, wenn die Strecke M 0 M mit 
Yy 
^ V' - 
i a , 
\ y- 
Fig. no.