348 Analytische Geometrie des Raumes. § 3. Ebene und Gerade. 
Da nach dieser Festsetzung cosy notwendig positiv ist, hat man 
£ = — 1 zu nehmen; die Richtungskosinus sind also: 
4 1 s 
COS a = — • —;= , cos p = =, cos y = — -, 
5]/2 7 r 1/2 ö]/2 ; 
die Winkel selbst: a = 124°27', ß = 135°, y = 64°53'44". 
246. Anzahl der Konstanten. G-erade durch zwei Punkte. 
Die einzelnen Darstellungsformen der Geraden unterscheiden sich von 
einander durch die Zahl und Bedeutung der in ihnen auftretenden 
Konstanten. Nicht immer sind diese sämtlich unabhängig voneinander 
und nicht immer sind sie auf die kleinste Anzahl reduziert. So ent 
hält die Darstellung (242, 1.) sechs Konstanten, aber durch den in 
243 ausgeführten Eliminationsprozeß sind sie auf vier reduziert; in 
der Form (244, 3.) erscheinen auch sechs Konstanten; doch kann aus 
der Gruppe x 0 , y 0 , z 0 eine willkürlich angenommen werden, und die 
Gruppe p, q, r läßt sich auf zwei Konstanten reduzieren, z. B. auf die 
Verhältnisse , * • 
p ’ p 
Die kleinste Zahl unahhänngiger Konstanten, mit deren Hilfe sich 
eine Gerade im Baume analytisch darstellen läßt, beträgt vier. 
Da zwei unabhängige Gleichungen vorhanden sind, so ist im 
allgemeinen eine Gerade durch zwei Bedingungen bestimmt. 
Der einfachste Fall ist der einer Geraden durch zwei gegebene 
Punkte M t (xjyjzf), M 2 (xjyjz 2 ). 
Der Bündel der Geraden durch M x ist in den Gleichungen 
X — Ху = у — у, = г — z x 
p q r 
bei unbestimmten p, q, r dargestellt; diejenige unter den Geraden, die 
durch Ж 2 geht, erfüllt die Bedingungen: 
x. 2 — X t = y., —y, = — z, t 
p q r i 
durch Division beider Ansätze ergeben sich die Gleichungen der Yer- 
bindungsgeraden von M x und Jlf 2 : 
У — У i *—_*i 
Ух—Уъ h — *2 
und die Richtungskosinus sind (245, 219): 
X l X 2 
sd 
cos а 
cos ß 
Ух — У-2 
bd 
z. — z* 
cos у = , - 
‘ sd 
d=V{pc x - x 2 } 2 + (y x - y 2 )~ + (Л — hf- 
(1) 
(2) 
247. Schnittpunkt einer Geraden mit einer Ebene. Dem 
Wesen nach kommt diese Aufgabe auf die Lösung dreier Gleichungen 
ersten Grades in x, y, z hinaus: der Gleichung der Ebene und der 
beiden die Ge v ade darstellenden Gleichungen.