Ebene durch Gerade und Punkt. Winkel zwischen Gerade und Ebene. 351 
dann gesprochen werden, wenn die Gerade gerichtet und bei der 
Ebene die positive Seite von der negativen unterschieden ist. Der 
hohle Winkel со zwischen der gerichteten Geraden und der positiven 
Normale der Ebene ist dann spitz oder stumpf, je nachdem die 
positive Richtung der Geraden von der negativen Seite der Ebene 
zur positiven oder umgekehrt verläuft; das Komplement ft dieses 
Winkels, also 
«■ - f - ® (1) 
soll als Winkel der Geraden mit der Ebene erklärt werden; ft ist der 
Größe nach spitz, und sein Vorzeichen belehrt über die Anordnung 
beider Gebilde zueinander in dem angegebenen Sinne. 
Der absolute Wert von ft wird gemeinhin als Neigungswinkel der 
Geraden zur Ebene bezeichnet. 
Es sei nun 
Ax + By -f Gz + I) = 0 
die Gleichung der Ebene, während die Gerade durch 
x x 0 у y a - s z 0 
p q r 
bestimmt sein möge; gerichtet sei sie durch die Wahl eines bestimmten 
Wertes für e (246); dann sind 
p q r 
e]/jp 2 “h 2* ~t~ **** f|/p a + g 2 + r*’ s]/p 2 q--\- r ' 
ihre Richtungskosinus, während die der positiven Normale zur Ebene 
die Ausdrücke haben; 
(2> 
(3> 
ABC 
— sgn 2 4- 1П + G 2 ’ — sguПУЛ* + Б* + С 2? — sgn Щ Л- + В 2 + С 2 
Daraus bestimmt sich 
sin ft = cos со — — 
ind (vgl. 236) 
/(Br 
Ap -|- Bq A Gr 
s sgn nyu* -f В 2 + C*)(E + 2* + r-) 
cos ft = 1/ - 
{Cp— ArY -(- {Aq — Bp)‘‘ 
7A*~+B* 4- С 2 ) (V- 4- (Y 4- r 2 ) 
GqY 
(4> 
(5) 
Aus (4) folgt die Bedingung für den Parallelismus zwischen Ge 
rade und Ebene (ft = 0): 
Ap -(- Bq 4- Cr = 0 (6) 
in Übereinstimmung mit 247; aus (5) die Bedingung für die Perpen- 
dikularität der Geraden zur Ebene ^ft = : 
А В С 
p q г 
(?)