354 Analytische Geometrie des Raumes. § 8. Ebene und Gerade. 
Die Geraden seien paranietrisch gegeben durch die Gleichungen: 
(i) 
Sie haben dann und nur dann einen gemeinsamen Punkt, wenn 
es Parameterwerte u x , u 2 gibt, die in (1), beziehungsweise (2), ein 
gesetzt, zu demselben Wertsystem x, y, z führen, so daß also die Glei 
chungen bestehen: 
x t — x 2 + p x u x — p 2 u 2 = 0 
Vi - y* + <h u i -q-2 u 2 = 0 
— ¿2 + r x u x — r 2 u 2 = 0. 
Die Bedingung für die Koexistenz dieser Gleichungen, d. i. (121, III) 
~ ^2 Pi P2 
(3) 
B = Vi ~ !h Qi ( h = 0, 
ist zugleich die analytische Bedingung dafür, daß die Geraden eine 
Ebene bestimmen. 
Hierin ist sowohl der Fall des eigentlichen Schneidens als auch 
jener des Parallelismus enthalten; denn der letztere tritt (245) dann 
ein, wenn 
(4) 
Pi : Pi : r i = Pi : ( h '■ 
und bei diesem Verhalten verschwindet die Determinante 11 ohne Rück 
sicht auf die Werte der Elemente der ersten Kolonne. 
Man kann auch von folgender Erwägung ausgehen, die zugleich 
auf die Gleichung der Ebene der beiden Geraden hinführt, falls sie 
sich schneiden. Die Bedingungen dafür, daß die Ebene 
A x -f By -f- Ge -f D = 0 
sowohl die Gerade (1) als auch die Gerade (2) enthalte, lauten (247): 
Ax x + By x + Cz x -f D = 0 
Ax 2 -f- By 2 -f- Cz 2 -j- D = 0 
Ap l + Bq x + Cr x =0 
Ap 2 + Bq 2 -f- Cr 2 = 0; 
der Bestand dieser Gleichungen erfordert aber, daß 
x x y x z x 1 
V'2 *2 ^ 
Pi Qi r i 0 
P 2 Q% r 2 0