356 Analytische Geometrie des Raumes. § 3. Ebene und Gerade. 
Hiernach sind 
Oi 
r i 
(x - 
- xß) ff- 
4 
Pi ¡7 
(i) 
f-yt) + 
Pi 
0i 
q.2 
r 2 
r 2 
p 2 
Pi 
O2 
Oi 
T l 
o - 
4 
4 
i 
>\ 
Pi , 
{l 
! — 2/2) 4 
Pi 
Ol 
0.2 
4 
4 
P2 
ih 
02 
0 — ¿1) = 0 (3) 
(*-*,)-() (4) 
die Gleichungen der parallelen Ebenen, deren erste durch (1), deren 
zweite durch (2) geht. 
Da es, wenn es sich nur um die Größe des kürzesten Abstandes 
handelt, auf die Entfernung dieser Ebenen ankommt, so braucht man 
nur den Abstand des Punktes x 2 / y 2 / z 2 von der Ebene (3) oder des 
Punktes x 1 / y t / z v von der Ebene (4) zu bestimmen; es ist also (234) 
Ò = 
<h r l 
h 4 
(4 
4) 4 
4 Pi 
4 Pt 
(2/i — 
*)4 Ä 31 
P2 02 
4 
l/ <h Tl 
0.2 4 
2 
4 
4 Pi 
4 Pt 
2 
4 
Pi <h 2 
p, q. 2 
(5) 
wobei s = -f- 1 oder = — 1 zu nehmen ist, je nachdem der Zähler 
positiv oder negativ ausfällt. Der Zähler dieses Bruches ist die Ent 
wicklung der in 251 aufgetretenen Determinante B, deren Ver 
schwinden als Merkmal des Schneidens erkannt wurde, sofern 
Vi : ( h : r i 4=1*2 : O2 : 45 ist aber Pi '■ Oi '• r i =i> 2 : ( h :r 2> i n welchem Falle 
die Geraden parallel sind, so verschwindet auch der Nenner in (5) und 
0' erscheint in unbestimmter Form. 
Soll man auch die Lage des kürzesten Abstandes ermitteln, so 
ergibt sich hierzu der folgende Weg. Schreibt man die Gleichungen 
(1), (2) in parametri sch er Form: 
x = x ± 4 p v u j x = x 2 4- p 2 v | 
y = V i + <h u (1*) y=y% + (h v O*) 
z — z x 4 r x u j Z — #2 -f r 2 v J 
so drücken sich die Koordinatendifferenzen der Punkte u, v wie folgt aus: 
x x — x 2 + lh u ~P2 V 
V1-V2 + Oi™ — 0 2 v 
#1— z 2 + r t u — r 2 v ; 
diese Differenzen sind aber den Richtungskosinus der Verbindungs 
linie der beiden Punkte proportional (246); soll diese Verbindungs 
linie den kürzesten Abstand enthalten, so muß sie auf den beiden 
Geraden senkrecht stehen; mithin ergeben sich die Parameterwerte zu 
den Endpunkten des kürzesten Abstandes aus dem Gleichungspaar: 
Pi {x l -x 2 +p i u-p 2 v) + q i (y i —y 2 + q l u-q 2 v) + r 1 (z 1 —z 2 +r t u—r 2 v)=0 
P-2 Ol - x 2 4u-p 2 v) 4 q 2 Cy,-y 2 -\-q 1 u—q 2 v) -f r 2 (z x ~z 2 + r, u - r 2 v) = 0,