360 
Analytische Geometrie des Raumes. § 4. Krumme Flächen. 
festen Punktes, so führt die gestellte Forderung zu zwei Bedingungs 
gleichungen zwischen den Parametern, nämlich: 
Fijeo, y 0 , e Q , v , w , * * 0 = 0 
o, Vo, *o, «0 v, w, • • •) = 0. 
(7) 
(«) 
254:. Kegelflächen. W enn eine Gerade um einen in ihr liegen 
den festen Punkt eine räumliche Drehung vollführt, so heißt die von 
ihr beschriebene Fläche eine Kegelfläche. Der feste Punkt heißt ihr 
Scheitel; er zerlegt die Erzeugende in zwei Strahlen, deren jeder einen 
Mantel der Fläche beschreibt. 
Sind # 0 , i/ 0 , £ 0 die Koordinaten des Scheitels, so schreiben sich 
die Gleichungen der Erzeugenden: 
X — X, 
y — y* 
a 
z — z. 
p 
r 
wobei p, q, r zunächst völlig willkürlich sind; führt mau die Yerhält- 
<1 
msse = u 
P 
r 
v als Parameter ein, so kann man statt dessen schreiben : 
(1) 
X — X, 
Ist nun 
rp(u, v) = 0 
(2) 
die Bedingungsgleichung, die die Bewegung regelt, so folgt aus ihr 
durch Elimination von u } v mittels (1) die Gleichung der Kegelfläche: 
Verlegt man insbesonderere den Ursprung des Koordinatensystems 
in den Scheitel, so nimmt die Gleichung die Gestalt an: 
Das analytische Merkmal der Kegelgleichung besteht also darin, 
daß die Koordinatendifferenzen x — x 0 , y — y 0 , z — z 0 , bzw. die Koor- 
t qj qf ß ß q/ ,Z 
dinaten x, y, z, nur in den Verbindungen — - , “ ' 0 , bzw. — , — 
i V / / CD ßß ßß / ßß ßß / ßß / ßß 
auftreten; man bezeichnet eine Gleichung dieses Baues als in bezug 
auf die genannten Argumente homogen. 
Die unmittelbare Angabe der Bedingungsgleichung (2) kann da 
durch ersetzt sein, daß eine Leitlinie gegeben ist. Durch Scheitel und 
Leitlinie ist die Kegelfläche bestimmt. 
Beispiele. 1. Die Gleichung der Kegelfläche aufzustellen, deren 
Scheitel der Ursprung und deren Leitlinie ein Kreis vom Halbmesser a 
im Abstande c von der xy-Ebene ist; der Mittelpunkt des Kreises 
liegt in der £-Achse.