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Analytische Geometrie des Raumes. § 4. Krumme Flächen. 
zusammen ein zweifach unendliches System von parallelen Geraden 
im Raume dar; aus diesem wird durch die Bedingungsgleichung 
9>0, v) = 0 (2) 
ein einfach unendliches System ausgelöst, dessen Ort die Zylinderfläche 
ist; ihre Gleichung lautet demnach: 
cpiax + hy + cz, ax + h'y fl- c'z) = 0. (3) 
Die Gleichung einer Zylinderfläche ist also analytisch dadurch 
gekennzeichnet, daß ihre linke Seite (bei Reduktion auf Null) eine 
Funktion von zwei linearen Ausdrücken in x, y, z ist. 
Fehlen in diesen Ausdrücken die Glieder mit einer der Koordi- 
dinaten, z. ß. mit z, so ist die Zylinderfläche der betreifenden Achse 
parallel; so stellt eine Gleichung von der Form 
(p(ax -j- hy, a'x h'y) = 0 
eine zur xy- Ebene normale Zylinderfläche dar. 1 ) 
Die Bedingungsgleichung (2) kann indirekt dadurch gegeben sein, 
daß die Erzeugende an eine Leitlinie gebunden wird. Durch Leitlinie 
und eine Richtung ist somit eine Zylinderfläche bestimmt. 
Beispiele. 1. Es ist die Gleichung jener Zylinderfläche aufzu 
stellen, deren Leitlinie ein mit dem Radius r in der xy-Ebene aus 
dem Ursprung beschriebener Kreis ist, und deren Erzeugende mit der 
x-, «/-Achse Winkel von 60° bzw. 45° und mit der 0-Achse einen 
spitzen Winkel bilden. 
Man kann die Erzeugende durch die Gleichungen 
x — u y — v z 
p q r 
darstellen, wenn man den Nennern die durch die Daten vorgezeich 
neten Verhältnisse gibt, nämlich p : q:r= 1 : j/2 : 1 (220), also durch 
die Gleichungen 
x — z = u 
y — z]/2 = v\ 
die Leitlinie ist durch 
z = 0 
x 2 -j- y 2 = r 2 
bestimmt. Die Elimination von x, y, z führt zu der Bediugungs- 
gleichung 
9 i 9 9 
ir V 2 = r , 
somit lautet die Zylindergleichung: 
(x — z) 2 -j- (y — zA/2f = r 2 . 
1) Durch eine Koordinatentranaformation ix' — ax -f- hy, y' — a x -j- b'y) 
kann der Gleichung die Gestalt F(x, y) = 0 gegeben werden (223, 2).