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Analytische Geometrie des Raumes. § 4. Krumme Flächen.
schreiben die einzelnen Punkte der Geraden ähnliche, bei der fort
schreitenden Bewegung kongruente Bahnen.
Eine Bewegung der Geraden, bei der zwei beliebige Lagen keinen
gemeinsamen Punkt besitzen, wird eine schraubende Bewegung ge
nannt 5 eine solche Bewegung kann als Zusammensetzung der drehenden
mit der fortschreitenden Bewegung aufgefaßt werden. Sind nämlich
g x , g 2 zwei beliebige Lagen der Geraden, so kann man g v in ^ da
durch überführen, daß man mit g i zuerst längs einer gemeinsamen
Transversale von g t und g 2 eine fortschreitende Bewegung ausführt,
wodurch g x in die Lage gl kommen möge, in der es mit g. 2 einen
Punkt gemein hat; und daß man sodann gl in der Ebene (gl, g 2 ) durch
Drehung um den letztgenannten Punkt in g 2 überführt.
Zur Regelung einer schraubenden Bewegung bedarf es im all
gemeinen dreier Leitlinien. Ist eine dieser Leitlinien eine Gerade im
Endlichen, eine zweite eine Gerade im Unendlichen, so heißt die be
schriebene Fläche ein Konoid. Anders ausgedrückt: Ein Konoid ent
steht, wenn eine Gerade längs einer geraden und irgendeiner zweiten
Leitlinie sich bewegt und einer festen Ebene, der Bichtebene, parallel
bleibt.
Wenn die gerade Leitlinie auf der Richtebene senkrecht steht, so
heißt das Konoid ein gerades, sonst ein schiefes.
Bei einem geraden Konoid wird die einfachste Anordnung gegen
das Koordinatensystem darin bestehen, daß man die gerade Leitlinie
in eine der Koordinatenachsen legt; die dazu senkrechte Koordinateu-
ebeue kann danach als Richtebene aufgefaßt werden.
Fällt die gerade Leitlinie in die z-Achse, so schreiben sich die
Gleichungen der Erzeugenden:
hat sich mit Hilfe der zweiten Leitlinie die Bedingungsgleichung
(2)
cp(u, v) = 0
zwischen den Parametern ergeben, so liefert die Elimination von u, v
zwischen (1) und (2) die Gleichung des Konoids:
W
nach x aufgelöst:
Hat die y-, bzw. die z- Achse als gerade Leitlinie gedient, so
kommt als Gleichung des Konoids eine Gleichung von der Form
zustande.
