Reclinen mit imaginaren und komplexen Zahlen. 
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Worte imaginäre Zahlen auch die komplexen und nennt Zahlen von 
der Form (2) vorzugsweise rein imaginär. 
18. Definitionen. Rechmmgsregeln. 1. Die Null ist in der 
Form einer komplexen Zahl nur auf die einzige Art 0 + 0* darstellbar. 
2. Zwei komplexe Zahlen a + ßi, a 4- ß'i sind dann und nur 
dann gleich, wenn a = a , ß — ß'. 
3. Zwei komplexe Zahlen der Form a + ßi, — a — ßi heißen 
entgegengesetzt. 
4. Zwei komplexe Zahlen der Form a + ßi, a — ßi heißen Jwn- 
jugiert. r ) 
5. Die Addition zweier komplexen Zahlen ist definiert durch den 
Ansatz: 
(a ßi) (a + ß i) — cc + a -\- (ß ß)i. (5) 
Vermöge dieser Regel bleibt auch für die Addition komplexer Zahlen 
das kommutative und bei Ausdehnung auf mehr als zwei Summanden 
das assoziative Gesetz bestehen. 
Die Subtraktion ist die Addition des entgegengesetzt genommenen 
Subtrahends zum Minuend; d. h. 
(cc + ßi) — (a + ß'i) = (a + ßi) + (—a — ß'i) = cc — cc' + (ß — ß')i. (6) 
Folgerungen hieraus: Die Summe zweier konjugiert komplexen 
Zahlen ist reell, ihre Differenz rein imaginär: 
(cc -f ßi) + (cc — ßi) = 2cc 
(cc ßt) —■ (cc — ßi) - 2ß i. 
6. Bei Aufrechthaltung des distributiven Gesetzes der Multipli 
kation reeller Zahlen auch bei Binomen der Form (4) und unter Be 
achtung des Grundgesetzes (3) ergibt sich für die Multiplikation 
komplexer Zahlen die Regel: 
(a 4- ßi) («' 4~ ß i) = cccc' — ßß' -f- (aß' 4- a'ß)i. (7) 
Folgerungen daraus: Weil 
o o 
(aa — ßß'y + (aß' + a ß)* = (a 2 4- ß' 2 )(a 2 + ß' 2 ), 
so kann das Produkt zweier komplexen Zahlen nicht Null werden, 
ohne daß ein Faktor Null wird. 
Das Produkt zweier konjugiert komplexen Zahlen ist reell und 
positiv: 
(a 4- ßi) (a — ßi) = a- + ß 2 . (8) 
Man nennt erß 2 die Norm aller in + a + ßi enthaltenen komplexen 
Zahlen. 
1) Nack A. Caucky, 1821.