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Analytische Geometrie des Raumes. § 4. Krumme Flächen. 
Kreises erzeugt werden, dessen Mittelpunkt eine feste Gerade durch 
läuft und dessen Ebene auf dieser Geraden senkrecht bleibt; zur 
Regelung der Größe dieses Kreises kann eine Leitlinie dienen. Gerade 
diese Auffassung eignet sich zur analytischen Darstellung. 
Jede von der Rotationsachse ausgehende Halbebene schneidet die 
Rotationsfläche nach einer Linie, die man als einen Meridian be 
zeichnet; es ist in der Entstehungsweise der Fläche begründet, daß alle 
Meridiane kongruent sind, so daß die Fläche auch durch Umdrehung 
eines Meridians erzeugt werden kann. 
Ordnet man das Koordinatensystem derart an, daß die Rotations 
achse mit der ¿-Achse zusammenfällt, so läßt sich der erzeugende 
variable Kreis durch die Gleichungen 
x 2 + V 2 + $ = u 2 | 
Z = V J ; 
nämlich als Schnitt einer variablen Kugel um den Ursprung und einer 
beweglichen zur z-Achse senkrechten Ebene darstellen. 
Ist 
(p(u, v) = 0 (2) 
die unmittelbar gegebene oder mittels der Leitlinie abzuleitende Be 
dingungsgleichung zwischen den veränderlichen Parametern, so ergibt 
sich durch Elimination von u, v zwischen (1) und (2) die Gleichung 
der Rotationsfläche zunächst in der Form 
9>C|/^ 2 + y 2 + ¿0=0, 
und bei Auflösung nach z erhält man eine Gleichung von der Struktur 
z = &{x 2 + y 2 ). (3) 
Es kann also (3) als die allgemeine Gleichung der Rotationsflächen 
angesehen werden, die die ¿-Achse zur Rotationsachse haben. 
Ist insbesondere ein Meridian, beispielsweise der in der ¿¿r-Ebene 
liegende, als Leitlinie gegeben, deren Gleichungen also 
y = 0, F{x,z) = 0 (4) 
sein mögen, so führt die Elimination von x, y, z aus (1) und (4) auf 
die Bedingungsgleichung 
F(]/u 2 - v 2 , v) = 0, (2*) 
aus der sich wiederum durch Elimination von u, v die Gleichung der 
Rotationsfläche ergibt: 
F(\/x 2 + y 2 ,z)-=0. (3*) 
Dieses Ergebnis läßt sich zu einer einfachen Regel formulieren, 
die so lautet: Um die Gleichung der durch Umdrehung der Linie y = 0, 
F(x, z) = 0 um die z- Achse erzeugten Rotationsfläche zu erhalten, hat 
man in der letztgeschriebenen Gleichung x durch ]/x 2 + y 2 zu ersetzen. 
(1)